kubische natürliche spline

17.11.2012, 18:00

chrlan

kubische natürliche spline

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der kubischen, natürlichen Splines zur Zerlegung $\begin{eqnarray*} \Delta =\{ 0=x_0<1=x_1<2=x_2\} \end{eqnarray*}$ des Intervalls [0,2].
Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionen in $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ enthalten sind (mit Begründung):
(i) $\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^3-x^2 \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} f_2(x)=x^2(x-6)-(x-2)^3 \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} f_3(x)=max\{0,(x-1)\}^3-\frac 1 2 x^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Verstehe ehrlich gesagt die Aufgabenstellung nicht so ganz. Was soll mit den Funktionen gemacht werden? Erscheint mir nur logisch, dass man die nicht noch interpolieren soll, weil es ja schon Polynome sind. Hab aber keine Ahnung was dort zu machen ist. Gehe davon aus, dass man auf bestimmte Eigenschaften im Intervall [0,2] prüfen muss, aber auf welche? Such jetzt schon etwa 2 Stunden nach einer Lösung, aber weder das Skript noch Google möchte eine ausspucken. Wäre echt super wenn mir jemand etwas helfen würde, exemplarisch mit (i), dann sollte ich ja wissen wie der Rest zu lösen ist. Danke schonmal

17.11.2012, 19:06

Math1986

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RE: kubische natürliche spline
Die fragestellung ist doch ganz eindeutig:

Zitat:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionen in $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ enthalten sind (mit Begründung):

]Was genau ist ein kubischer, natürlicher Spline auf dieser Zerlegung?

Fürs Erste würde es schon helfen, wenn du jeweils die Funktionsgraphen skizzieren würdest.

Siehe auch:
[WS] Spline-Interpolation - Theorie
[WS] Spline-Interpolation - Beispiele

17.11.2012, 19:08

Cugu

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Ich habe jetzt 20 Sekunden nach einer Lösung gesucht und Google --> Wikipedia sagt mir:
Freier Rand oder natürlicher Spline: $\begin{eqnarray*} s_1''(x_0)=0, s_n''(x_n)=0 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht steht sowas auch in deinem Skript.

Du hast recht, dass $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ schon ein kubisches Polynom ist, also müsstest du bei (i) nur $\begin{eqnarray*} f_1''(0)=0, f_1''(2)=0 \end{eqnarray*}$ prüfen.

17.11.2012, 19:32

chrlan

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das sind 2 zeilen. das erschien mir etwas extrem einfach...

17.11.2012, 20:00

chrlan

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wenn man einfach auf die interpolationsbedingungen prüft, ist f_1 nicht in S_0, f_2 und f_3 schon. (Hab jetzt natürlich auch auf die anderen Bedingungen überprüft)
Erschien mir vorher nur viel zu einfach Augenzwinkern

vielen dank für die schnelle hilfe

17.11.2012, 20:47

Math1986

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Zitat:

Original von chrlan
das sind 2 zeilen. das erschien mir etwas extrem einfach...

Dann poste das doch einfach mal

18.11.2012, 13:28

chrlan

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(i)
$\begin{eqnarray*} f^{''}_1(x)=6x-2\\ f^{''}_1(0)=-2,\qquad f^{''}_1(2)=10\Rightarrow f_1\notin S_0 \end{eqnarray*}$
(ii)
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=-12x+8\\ f_2^{'}(x)=-12\Rightarrow f^{'}_2(1)=f^{'}_2(1)\\ f_2^{''}(x)=0\Rightarrow f_2^{''}(1)=f_2^{''}(1)\Rightarrow f_2\in S_0 \end{eqnarray*}$
(iii)
für x=0 und x=1 ergibt das:
$\begin{eqnarray*} f_{3,1}(x)=-\frac 1 2 x^3 \end{eqnarray*}$
für x=2:
$\begin{eqnarray*} f_{3,2}(x)=\frac 1 2 x^3 -3x^2+3x-1\\ f^{'}_{3,1}(x)=-\frac 3 2\qquad f_{3,2}^{'}(x)=\frac 3 2 x^2 -6x+3\\ f_{3,1}^{'}(1)=-\frac 3 2\qquad f_{3,2}^{'}(1)=-\frac 3 2\\ f_{3,1}^{''}(x)=-3x\qquad f_{3,2}^{''}(x)=3x-6\\ f_{3,1}^{''}(1)=-3\qquad f_{3,2}^{''}(1)=-3\\ f_{3,1}^{''}(0)=0\qquad f_{3,2}^{''}(2)=3\cdot 2-6=0\\ \Rightarrow f_3\in S_0 \end{eqnarray*}$

Hoffe ich habe mich nirgendwo vertippt, meine tastatur ist nämlich bisschen kaputt.

18.11.2012, 14:45

Math1986

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Sieht alles richtig aus smile

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