f Homomorph. <=> G abelsch

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Stefan1991 Auf diesen Beitrag antworten »
f Homomorph. <=> G abelsch
Hallo,

folgende Aufgabe beschäftigt mich seit 3 Stunden. Ich komme einfach nicht drauf.

Zitat:
Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung f: G -> G, g -> g^-1 genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn G abelsch ist.


Ich bin so vorgegangen:

Beweis 1: G ist abelsch => f ist Homorphismus.

x * y = ((x * y)^-1)^-1 = (f(x*y))^-1 = (f(x) * f(y))^-1 = (x^-1 * y^-1)^-1 = (y^-1 * x^-1)^-1 = (f(y) * f(y))^-1 = f(y*x))^-1 = ((y * x)^-1)^-1 = y * x

Ist das ein Beweis? Ich bin mir sehr unsicher. Ich habe halt die Kommutativität und die Eigenschaften des Homomorphismus ausgenutzt... Aber ich weiß nicht, ob ich die Eingeschaften des Homomorphismus hier ausnutzen darf. Weil ich will ja nachweisen, dass es ein Hom. ist.

Beweis 2: f ist Homomorphismus => G ist abelsch

Hier habe ich gar keinen Ansatz. Habt ihr hier einen kleinen Tip für mich?

Lg
Stefan
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

An genau der selben Aufgabe sitze ich auch gerade.
(Kann es sein, dass du am KIT studierst?^^)

Ich habe folgenden Ansatz:

Sei Kommutativität vorausgesetzt, dann gilt:






=> Definition Gruppenhomomorphismus

Edit: Ich bin mir nur z.b. nicht sicher, ob man sagen darf, dass gilt:

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von charlydelta
Edit: Ich bin mir nur z.b. nicht sicher, ob man sagen darf, dass gilt:

Das ist im Allgemeinen falsch, es ist generell


Die Gleichung

gilt daher nur dann, wenn G abelsch ist.

Ich würde beide Richtungen separat zeigen.
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, ich habe es überarbeitet...
Ich hoffe ich habe deine Anmerkung korrekt verstanden ^^

Zu zeigen: f ist Gruppenhomomorphismus, <=> G ist abelsch

f ist genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn gilt:
(nach Definition des Gruppenhomomorphismus)


Nach allgemeiner Definition gilt jedoch:
Damit f ein Homomorphismus sein kann, muss also Kommutativität gelten:
, insbesondere:
Wenn das gilt, gilt auch , was der Definition des Gruppenhomomorphismus entspricht
Stefan1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, ich bin auch KIT-geplagter smile
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist oben korrekt.
 
 
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe, ich habe es Verstanden smile
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