Untergruppen, Teilmengen von Gruppen

17.11.2012, 19:08

LaFleur

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Untergruppen, Teilmengen von Gruppen

Hallo, ihr Lieben smile

smile

Ich muss mal wieder eine AUfgabe in Algebraische Strukturen lösen und ich bräuchte einwenig Hilfe um einen Ansatz zu finden mit dem ich die Aufgabe beweisen bzw lösen kann.

Es seien (G,°) eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ Teilmengen von G, Untergruppen. Man Zeige:

(1) Für alle a Element G ist $\begin{eqnarray*} a°U_1°a^-1 \end{eqnarray*}$ ={ a°u°a^-1 /u Element $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ } eine Untergruppe von G

(2) Im Allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} U_1°U_2 \end{eqnarray*}$ ={ a°b / a Element $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , b Element $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ } keine Untergruppe von G.

(3) Gilt jedoch a°b°a^-1Element $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ für alle a Element $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und b Element $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} U_1°U_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G.

Danke schonmal smile

smile

17.11.2012, 19:15

Math1986

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RE: Untergruppen, Teilmengen von Gruppen
Bei der (1) musst du einfach nur die Untergruppenaxiome nachrechnen, wie sehen diese aus?

PS: Bemühe dich doch etwas mit Latex:
$\begin{eqnarray*} a\circ U_1\circ a^{-1} =\left\{ a\circ u\circ a^{-1} \mid u \in U_1\right\} \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 20:02

LaFleur

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Okay. also die Untergruppenaxiome sind Abgeschlossenheit, neutrales Element , Inverse
fasse ich dann also Untergruppe den ganzen Term ( a° $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} a^-1 \end{eqnarray*}$ ) auf ?

Tut mir leid ich beschäftige mich noch nicht solange mit Latex Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2012, 20:51

Math1986

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Du könntest ja mal damit anfangen, dich mit Latex zu befassen.
Als untergruppe fasst du das auf:
$\begin{eqnarray*} a\circ U_1\circ a^{-1} =\left\{ a\circ u\circ a^{-1} \mid u \in U_1\right\} \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 21:21

LaFleur

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Ich versuchs ja mich damit zu beschäftigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich hab das zur (1):

1. Abgeschlossenheit:
Die ist doch dadurch gegeben, dass die gegebene Gruppe nicht leer ist sie enthält ja u und a sowie $\begin{eqnarray*} a^(-1) \end{eqnarray*}$

2. neutrale Element
hab ich e genommen und das dann für den term in der definition gezeigt

3. inverses Element

$\begin{eqnarray*} (a°u^-1°a^-1) \end{eqnarray*}$ genommen und das mit dem Term verknüpft un e erhalten

was mussich bei der zwei beachten?

18.11.2012, 10:47

Math1986

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Zitat:

Original von LaFleur
1. Abgeschlossenheit:
Die ist doch dadurch gegeben, dass die gegebene Gruppe nicht leer ist sie enthält ja u und a sowie $\begin{eqnarray*} a^(-1) \end{eqnarray*}$

1) Warum enthält die Teilmenge die genannten Elemente? Bitte einen Beweis.
2) Für die Abgeschlossenheit reicht es eben nicht aus, zu zeigen, dass diese nicht leer ist, vielmehr, dass die Verknüpfung zweiter Elemente wieder in ihr enthalten ist.

Zitat:

Original von LaFleur
2. neutrale Element
hab ich e genommen und das dann für den term in der definition gezeigt

Kannst du das noch etwas mehr ausformulieren? Prinzipiell ist es aber richtig.

Zitat:

Original von LaFleur
3. inverses Element

$\begin{eqnarray*} (a°u^-1°a^-1) \end{eqnarray*}$ genommen und das mit dem Term verknüpft un e erhalten

Der Term schreibt sich als
$\begin{eqnarray*} a\cdot u^{-1}\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$
Das ist auch richtig, aber du solltest es schon formal zeigen dass die wirklich invers zueinander sind.

Warte mit der 2) bis du die 1) gelöst hast.

PS: Lies dir das mal bitte durch:
Wie kann man Formeln schreiben?

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18.11.2012, 13:54

LaFleur

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1 neutrales Element

$\begin{eqnarray*} (a \cdot u \cdot a^{-1})\cdot e = a \cdot u \cdot a^{-1}\cdot e= (a \cdot u \cdot a^{-1}) \end{eqnarray*}$
wobei ebenfall gelten muss für $\begin{eqnarray*} a, e \in G \end{eqnarray*}$ wobei e das neutrale Element ist : $\begin{eqnarray*} a \cdot e= a \end{eqnarray*}$
Desweiteren enthält $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ auch ein neutrales Element e' für das gilt:
$\begin{eqnarray*} u \cdot e '= u \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} e \cdot e' = e' = e' \cdot e \end{eqnarray*}$
daher gilt dann auch das e das neutrale Element der Gruppe $\begin{eqnarray*} a \cdot u \cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$

2. Inverse Element

$\begin{eqnarray*} (a \cdot u \cdot a^{-1})\cdot ( a \cdot u^{-1} \cdot a^{-1})=a \cdot u \cdot a^{-1}\cdot a \cdot u^{-1} \cdot a^{-1}=a \cdot u \cdot( a^{-1}\cdot a) \cdot u^{-1} \cdot a^{-1}= a \cdot u \cdot e\cdot u^{-1} \cdot a^{-1}=a \cdot (u \cdot u^{-1}) \cdot a^{-1}=a \cdot e \cdot a^{-1}= a \cdot a^{-1} = e \end{eqnarray*}$

So würde ich die 1 lösen.

18.11.2012, 14:39

Math1986

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Zitat:

Original von LaFleur
1 neutrales Element

$\begin{eqnarray*} (a \cdot u \cdot a^{-1})\cdot e = a \cdot u \cdot a^{-1}\cdot e= (a \cdot u \cdot a^{-1}) \end{eqnarray*}$
wobei ebenfall gelten muss für $\begin{eqnarray*} a, e \in G \end{eqnarray*}$ wobei e das neutrale Element ist : $\begin{eqnarray*} a \cdot e= a \end{eqnarray*}$
Desweiteren enthält $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ auch ein neutrales Element e' für das gilt:
$\begin{eqnarray*} u \cdot e '= u \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} e \cdot e' = e' = e' \cdot e \end{eqnarray*}$
daher gilt dann auch das e das neutrale Element der Gruppe $\begin{eqnarray*} a \cdot u \cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$

Diese Argumentation verstehe ich nicht. Du setzt in deiner Argumentation schon voraus, dass das neutrale Element enthalten ist? Das neutrale Element erhältst du, indem du u=e setzt, und zeigst $\begin{eqnarray*} (a \cdot e \cdot a^{-1})=e \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von LaFleur
2. Inverse Element

$\begin{eqnarray*} (a \cdot u \cdot a^{-1})\cdot ( a \cdot u^{-1} \cdot a^{-1})=a \cdot u \cdot a^{-1}\cdot a \cdot u^{-1} \cdot a^{-1}=a \cdot u \cdot( a^{-1}\cdot a) \cdot u^{-1} \cdot a^{-1}= a \cdot u \cdot e\cdot u^{-1} \cdot a^{-1}=a \cdot (u \cdot u^{-1}) \cdot a^{-1}=a \cdot e \cdot a^{-1}= a \cdot a^{-1} = e \end{eqnarray*}$

So würde ich die 1 lösen.

Ja, das stimmt.

18.11.2012, 15:25

LaFleur

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$\begin{eqnarray*} a \cdot e \cdot a^{-1} = e =(a \cdot e \cdot a^{-1}) \cdot (a \cdot a^{-1}) = a \cdot e \cdot (a^{-1} \cdot a) \cdot a^{-1} = a \cdot e \cdot e \cdot a^{-1} = a \ \cdot a^{-1} = e \end{eqnarray*}$

Könnte das für das neutrale Element stimmen ?
und jetzt ein Tipp zur zwei Big Laugh

Big Laugh

18.11.2012, 15:33

Math1986

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Ganz einfach:
$\begin{eqnarray*} e\in U_1\Rightarrow a \cdot e \cdot a^{-1}\in a \cdot U_1 \cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \cdot e \cdot a^{-1} = a \cdot a^{-1} = e \end{eqnarray*}$
Man kann die Gleichung natürlich beliebig verkomplizieren, indem man zunächst ein $\begin{eqnarray*} a\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$ reinmultipliziert, und es dann zwei Schritte später wieder wegkürzt, aber was bringt das?

Ist das nun klar?

18.11.2012, 15:47

LaFleur

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ja das hab ich verstanden, Danke.

18.11.2012, 17:04

LaFleur

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EM könntest du mir bitte noch bei der 2 helfen?

18.11.2012, 17:23

Math1986

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Achja. Überleg dir mal, an welchem Teil der Definition es scheitern könnte und überleg dir dazu ein gegenbeispiel.

18.11.2012, 20:13

LaFleur

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Also ich weiß kein Gegenbeispiel, weil ich das irgendwie auch net weis wie ich das widerlegen kann.
Die aussage ist ja falsch weil die verknüpfung ist doch auch ne untergruppe von G oder? nicht das ich ganz falsch bin.

18.11.2012, 21:24

Math1986

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Zitat:

Original von LaFleur
Die aussage ist ja falsch weil die verknüpfung ist doch auch ne untergruppe von G oder? nicht das ich ganz falsch bin.

verwirrt

18.11.2012, 21:37

LaFleur

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Das heißt, dass ich mit dieser Aufgabe nicht klar komme und das es mir schwer fällt da ein gegenbeispiel zu finden Big Laugh

Big Laugh

18.11.2012, 22:55

LaFleur

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Also das heißt ich hab verständnisprobleme mit der Aufgabe un weiß auch nicht wie ich ein Gegenbeispiel finde.

19.11.2012, 09:32

Math1986

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Tipp: Versuch mal ein Gegenbeispiel dafür zu finden, dass die Abgeschlossenheit im Allgemeinen nicht gilt.

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