Für welches t hat die Funktion f keine,eine bzw. zwei Nullstellen ?

17.11.2012, 22:34

Pippiplatsch

Für welches t hat die Funktion f keine,eine bzw. zwei Nullstellen ?

Hallo

,

Ich bin am verzeifeln bei folgender quadratischen Gleichungen Aufgabe.
Die Aufgabe lautet :
"Für welches t hat die Funktion f keine, eine bzw. zwei Nullstellen ?"
a.) f(x)= x²-6x + t

Ich habe die Gleichung gleich null gesetzt also , 0=x²-6x+t . Dann mit der ABC oder PQ Formel die Werte bestimmt. Hierbei habe ich t wie eine normale Zahl behandelt, also 1.
Mit der ABC Formel bekomme ich dann die werte x1=5,83 und x2= -0,17 raus.

Laut Lösung ist es angeblich aber :

Diskriminante ist D = 9 -t ,
für 9-t =0, also t =9 eine Lösung für 9-t <0, also t>9 keine Lösung,
für 9-t>0, also t <9 zwei Lösungen

Sorry, aber ich blicks kein Meter wie die auf das Ergebnis kommen. Mir ist auch die Lösung an sich ein Rätsel...

Über eure hilfe wäre ich euch sehr dankbar !

17.11.2012, 22:37

Bjoern1982

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Ohne Rechenweg kann man da nicht viel zu sagen.
Falls du für t eine 1 eingesetzt hast, dann ist das natürlich falsch.

17.11.2012, 22:40

Pippiplatsch

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Ja ich habe für t eine 1 eingesetzt.
Wie gesagt, ich habe die Gleichung gleich Null gesetzt.
0=x²-6x+t
Dann die ABC Formel angwendet, was aber falsch zu seien scheint.

Was muss ich denn dann machen bei dieser Gleichung um auf die Lösung zu kommen ?

18.11.2012, 00:54

Tesserakt

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In der PQ- bzw. ABC-Formel findet sich die Antwort auf die Frage. Augenzwinkern

Es ist $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{eqnarray*}$ .

Wo kann man die Anzahl der Lösungen ablesen?

edit von sulo: Vollzitat entfernt.

18.11.2012, 01:16

Pippiplatsch

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Wenn das Ergebnis der PQ Formel zweimal das gleiche ist, so handelt es sich um eine doppelte Nullstelle ( so nehm ich doch an) .

Mein Problem ist , in der Funktion 0=x²-6x+t ist mein t mein q, den Wert für t kenne ich aber nicht.

Wenn ich mit t=1 rechne kommt Mist herraus und es scheint auch nicht zu stimmen. Ich brauch erstmal den t Wert um die Formel überhaupt richtig anwenden zu können.

Und da hänge ich...

edit von sulo: Vollzitat entfernt.

18.11.2012, 01:22

Tesserakt

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Und eben weil du $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nicht kennst, darfst du es nicht durch irgendeine Zahl ersetzen. Heißt nicht umsonst Unbekannte.

Zitat:

Original von Pippiplatsch
Wenn das Ergebnis der PQ Formel zweimal das gleiche ist, so handelt es sich um eine doppelte Nullstelle ( so nehm ich doch an) .

Ist die Nullstelle einer quadratischen Funktion eine doppelte Nullstelle (bzw. Nullstelle zweiter Ordnung), so ist sie auch die einzige Nullstelle dieser Funktion. Ganz recht.
Aber wann ist dem so? Wann sind $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ gleich?
Also $\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q } = -\frac{p}{2} -\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q } \end{eqnarray*}$
Wann ist dies erfüllt? Augenzwinkern

edit von sulo: Vollzitat entfernt.

18.11.2012, 01:57

Pippiplatsch

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Wenn ich für p einmal eine positive und einmal eine negative Zahl einsetze verwirrt

?

edit von sulo: Vollzitat entfernt.

18.11.2012, 02:13

Tesserakt

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Zitat:

Original von Pippiplatsch
Wenn ich für p einmal eine positive und einmal eine negative Zahl einsetze verwirrt

Wie kommst du da drauf?

Nein, das geht nicht, da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ja einen konstanten Wert hat und somit entweder positiv oder negativ ist.

Versuche doch, die Gleichung, die ich oben angegeben habe, umzuformen...
Hat die quadratische Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + px + q \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle, so gilt für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{-\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} }_{ \text{erste Nullstelle}} = \underbrace{-\frac{p}{2} -\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} }_{\text{zweite Nullstelle}} \end{eqnarray*}$

Addiert man auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ , erhält man

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} = -\sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} \end{eqnarray*}$ .
Addiert man nun noch auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} = 0 \end{eqnarray*}$ also gilt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} = 0 \end{eqnarray*}$

Denn genau dann gibt es nur eine Nullstelle, nämlich $\begin{eqnarray*} x = -\frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenden wir dies auf deine Gleichung an!

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 - 6x + t \end{eqnarray*}$
Es ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} p = -6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = t \end{eqnarray*}$ .

Damit also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nur eine Nullstelle besitzt, muss
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{-6}{2} \right)^2 - t} = 0 \end{eqnarray*}$ gelten.
Das ist eine Gleichung mit einer Unbekannten!

18.11.2012, 02:46

Pippiplatsch

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Habe es eben mal durchgerechnet. Deine Formel spuckte $\begin{eqnarray*} t= -3 \end{eqnarray*}$ raus.
$\begin{eqnarray*} q=t \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 0=x²-6x+t \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich $\begin{eqnarray*} 0=x²-6x-3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} t=-3 \end{eqnarray*}$ . Das habe ich nun normal per PQ Formel ausgerechnet.

Jedoch bekomm ich dann für $\begin{eqnarray*} x1=6,46 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2=-0,46 \end{eqnarray*}$ raus, was ja auch nicht stimmen kann.

Rechnung

http://www.abload.de/img/w00toures.jpg

18.11.2012, 02:54

Tesserakt

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Betrachte Zeile 5.

Fernerhin hast du $\begin{eqnarray*} \left(\frac{-6}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ falsch ausgerechnet. Es ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{-6}{2} \right)^2 = (-3)^2 = 9 \neq 3 \end{eqnarray*}$

http://i50.tinypic.com/bi9mkj.png

Löst man $\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{-6}{2} \right)^2 - t} = 0 \end{eqnarray*}$ richtig auf, so erhält man im ersten Schritt durch Quadrieren $\begin{eqnarray*} \left(\frac{-6}{2} \right)^2 - t = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 9 - t = 0 \end{eqnarray*}$ .

18.11.2012, 03:07

Pippiplatsch

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Ok , das mit dem Vorzeichen war ein dummer Fehler...

Es heißt doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{-6}{2} \right)^2 - t} = 0 \end{eqnarray*}$

Für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \left(\frac{-6}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ habe ich auch $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ rausbekommen. Aber dann wird doch nochmal die Wurzel gezogen, oder nicht ? Somit dann $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ .

18.11.2012, 03:09

Tesserakt

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Aus Summen kann man nicht einfach so die Quadratwurzel ziehen, indem man die Quadratwurzeln aus den Summanden zieht. Das geht nur bei der Multiplikation.
Ein besserer Umformungsschritt: beide Seiten quadrieren, denn so fällt die Quadratwurzel aus der Gleichung, da sich Quadratwurzel ziehen und Quadrieren aufheben.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}^2 = a \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Vollzitat entfernt.

18.11.2012, 03:26

Pippiplatsch

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Stimmt

, Wurzel ziehen ist doch genau das Gegenteil vom Quadrieren...

Nun verstehe ich auch wieso es 9 gibt *schäm.

Mein Rechner sagt mir somit bei der Mitternachtsformel : $\begin{eqnarray*} x² + -6 x + 9 = 0 \end{eqnarray*}$ hat nur eine Lösung $\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$ .

Einen Offenen Punkt hätte ich allerdings noch.

Wieso schreiben die in der Lösung dann :
Diskriminante ist D = 9 -t ,für 9-t =0, also t =9 eine Lösung für 9-t <0, also t>9 keine Lösung,für 9-t>0, also t <9 zwei Lösungen

Das t=9 ist, verstehe ich ja, aber was soll das andere aussagen ? >9 keine Lösung, das sind doch quasi unendlich viele Zahlen kleiner 9 die dann keine Lösung haben und bei t kleiner 9 gibt es zwei Lösungen oder was ?

18.11.2012, 03:40

Tesserakt

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So ist es auch. Es gibt unendlich viele Zahlen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 - 6x + t \end{eqnarray*}$ zwei Nullstellen hat und auch ebenso unendlich viele Zahlen für die $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 - 6x + t \end{eqnarray*}$ keine reellen Nullstellen hat.

Man muss sich folgendes merken:
Mit einer Diskriminante $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ lässt sich erkennen, wie viele Nullstellen ein Polynom hat.
Für Polynome zweiten Grades, also quadratischen Polynomen, ergibt sich die Diskriminante zu $\begin{eqnarray*} D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \end{eqnarray*}$ (wieso das so ist, habe ich ja oben ausgeführt), woraus sich folgende Fälle ergeben:

$\begin{eqnarray*} D < 0 \Leftrightarrow \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q < 0 \Rightarrow \text{keine reelle Nullstelle}<br /> D = 0 \Leftrightarrow \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 0 \Rightarrow \text{eine zweifache, reelle Nullstelle}<br /> D > 0 \Leftrightarrow \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q > 0 \Rightarrow \text{zwei einfache, reelle Nullstellen} \end{eqnarray*}$

Mit diesem Wissen lassen sich alle Probleme der Form

Zitat:

Für welche $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + px + t \end{eqnarray*}$ keine, eine oder zwei Nullstellen?

im Nu lösen!

edit von sulo: Vollzitat entfernt.

18.11.2012, 04:12

Pippiplatsch

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Ok, genau dieses Wissen hat mir gefehlt .

Dank dir aufjedenfall für die schnelle und ausdauernde Hilfe Freude

.

Gibt es denn keine eine einfache reelle Nullstelle ?

18.11.2012, 04:17

Tesserakt

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Die Funktion ist nicht quadratisch, wenn sie genau eine einfache, reelle Nullstelle besitzt. Sie wäre dann vom Grad 1, also linear.
Also entweder hat sie genau eine zweifache reelle Nullstelle, zwei einfache, reelle Nullstellen oder keine reelle Nullstelle.

Und... np. Augenzwinkern

edit von sulo: Letztes Vollzitat entfernt.

18.11.2012, 12:19

Pippiplatsch

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Zitat:

Original von Tesserakt
Die Funktion ist nicht quadratisch, wenn sie genau eine einfache, reelle Nullstelle besitzt. Sie wäre dann vom Grad 1, also linear.
Also entweder hat sie genau eine zweifache reelle Nullstelle, zwei einfache, reelle Nullstellen oder keine reelle Nullstelle.

Und... np. Augenzwinkern

Habe die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 - 6x + 9 \end{eqnarray*}$ eben nochmal in meinem Grafiktaschenrechner eingegeben.

Bei dieser Gleichung liegt die Parabel exakt mit Ihrem Scheitelpunkt auf der X-Achse, also reelle 1 Nullstelle und sie ist doch trotzdem noch quadratisch ?

Bild Rechner
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Wenn ich <9 gehe verschiebts das Teil nach unten und hat somit 2 Nullstellen. Größer >9 liegt die Parabel dann über der X-Achse und kann somit garnicht mit der X-Achse in Berührung kommen, was ja auch verständlich ist.

Das heißt dann also bei $\begin{eqnarray*} t =9 \end{eqnarray*}$ eine Lösung, das sie nur eine Nullstelle hat, was ja auch der GTR anzeigt , oder ?

Edit Equester: Lade dein Bild bitte intern hoch. Getan.

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