Kern und Bild von f

17.11.2012, 23:32

Jolly

Kern und Bild von f

Meine Frage:
Guten Abend,

ich hänge an dieser Aufgabe:

Sei G eine abelsche Gruppe und $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow G, g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus. Bestimmen Sie Kern und Bild von f.

Meine Ideen:
Angeandt auf die Aufgabe, sehen die Defintionen von Kern und Bild ja so aus:
kern(f):= $\begin{eqnarray*} \left\{ g \in\ G: f(g)=e_G\right\} \end{eqnarray*}$
im(f):= f(G) = $\begin{eqnarray*} \left\{ f(g) \in\ G: g \in\ G\right\} \end{eqnarray*}$

Ich würde eigentlich sagen, dass im(f)=G, da ja jedes Element aus G invertiert werden kann und dann wieder in G liegen muss, da G eine Gruppe ist. Beim Kern hab ich mir kern(f)= $\begin{eqnarray*} {e_G} \end{eqnarray*}$ gedacht.
Ich glaube aber irgendwie, dass mein Gedanke nicht stimmt, da in der Aufgabe ja betont wird, dass G abelsch ist. Muss ich die Angabe dann nicht auch nutzen?

17.11.2012, 23:52

Mystic

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RE: Kern und Bild von f
Für eine abelsche Gruppe G ist die betrachtete Zuordnung $\begin{eqnarray*} g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ natürlich ein Automorphismus auf G, d.h., deine Antworten sind korrekt... Freude

Und ja, wie willst du in einer nichtabelschen Gruppe die Homomorphieeigenschaft zeigen? Big Laugh

18.11.2012, 00:16

Jolly

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Danke für deine Antwort. Da hab ich wohl ein Problem gesehen, wo gar keins war. Big Laugh

Reicht es dann als Lösung einfach Kern und Bild anzugeben oder bedeutet "bestimmen", dass ich auch eine Begründung/Beweis angeben muss?

18.11.2012, 01:20

Mystic

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Naja, deine Antworten sind zwar wie gesagt richtig, auf die wichtigen Punkte bist du aber überhaupt mit keinem Wort eingegangen. Diese sind:

1. Obige Abbildung ist eine Involution, d.h., selbstinvers, und damit insbesondere eine Bijektion.

2. Wegen der Kommutatitivät der Gruppe gilt die Homorphieeigenschaft. Tatsächlich sind diese beiden Dinge sogar äquivalent.

18.11.2012, 02:19

Jolly

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Den Beweis von 2. musste ich in einer anderen Aufgabe zeigen, daher hab ich das wohl einfach vorausgesetzt. Augenzwinkern

Es handelt sich bei f ja dann um einen Automorphismus, wenn f bijektiv ist. Hat das mit der Aufgabe etwas zu tun bzw. brauche ich das für meine Begründung?

18.11.2012, 08:27

Mystic

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Noch einmal: Die Abbildung $\begin{eqnarray*} g\mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ ist wegen

$\begin{eqnarray*} {(g^{-1})}^{-1}=g \quad \forall g \in G \end{eqnarray*}$

ein sog. "involutorischer Automorphismus", d.h., selbstinvers. Da steckt dann alles drin was man braucht, insbesondern wie Bild und Kern aussehen... Diese wichtige Beziehung kam bei dir aber gar nicht vor(!)...

18.11.2012, 12:24

Jolly

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Ist der Begriff "involutorisch" für die Lösung zwingend notwendig? Denn in der Vorlesung haben wir ihn noch nicht eingeführt. Kann ich ihn stattdessen folgendermaßen umschreiben: Da G eine Gruppe ist, exisitiert für jedes g aus G genau ein Inverses g^-1 aus G. Ebenso gilt umgekehrt $\begin{eqnarray*} (g^{-1})^{-1}=g \end{eqnarray*}$ für alle g aus G. Somit ist f bijektiv und ein Automorphismus. Daraus folgt im(f)=G und kern(f)=e_G, da f injektiv ist.

Wäre das so in Ordnung oder meinst du noch etwas Anderes?

18.11.2012, 13:34

Mystic

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Zitat:

Original von Jolly
Ist der Begriff "involutorisch" für die Lösung zwingend notwendig? Denn in der Vorlesung haben wir ihn noch nicht eingeführt.

Nein, natürlich nicht. Ich habe schon oben selbst auch den Ausdruck "selbstinvers" als Alternative eingeführt... Das ist selbsterklärend und weit besser als deine obige weitschweifige Erklärung...

18.11.2012, 13:56

Jolly

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Okay, vielen Dank für deine Hilfe. smile

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