Prinzip! Ggt teilerfremd

18.11.2012, 10:10

Monoid

Ggt teilerfremd

Hallo,

In der Frage ist vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} 1+4p^{4} \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist.

Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ggT(4+16p+24p^{2}+16p^{3},1+4p^{4}) \end{eqnarray*}$ nicht 1 ist?

18.11.2012, 11:12

tmo

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Berechne den ggT der beiden Polynome

$\begin{eqnarray*} 1+4X^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4+16X+24X^2+16X^3 \end{eqnarray*}$

mit dem euklidischen Algorithmus.

18.11.2012, 11:13

Math1986

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RE: Ggt teilerfremd
Durch eine Polynomdivision.

18.11.2012, 13:48

Monoid

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RE: Ggt teilerfremd
Mit Polynomdivision? verwirrt

Der Grad von $\begin{eqnarray*} 1+4 p^{4} \end{eqnarray*}$ ist doch größer als der des anderen Polynoms. verwirrt

18.11.2012, 13:50

tmo

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Und wo ist nun das Problem?

18.11.2012, 14:10

Monoid

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Muss ich $\begin{eqnarray*} 1+4 p^{4} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 16 p^{3}+24 p^{2}+16 p+4 \end{eqnarray*}$ oder andersrum?

18.11.2012, 14:15

tmo

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Du sollst den Euklidischen Algorithmus anwenden. Da ist es eigentlich erstmal egal wie rum man anfängt.

Aber man spart sich natürlich einen Schritt, wenn man das Polynom vom höheren Grad durch das Polynom vom niedrigen Grad teilt.

18.11.2012, 15:27

Monoid

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Ich weiß nicht, wie ich auf ... R... Komme. Den Rest krig ich hin, aber dafürbrauche ich das andere.

18.11.2012, 15:32

tmo

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ich weiß nicht, wie ich auf ... R... Komme.

Ich weiß leider nicht, was du damit meinst.

18.11.2012, 16:07

Monoid

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Hallo,

R stehz für Rest.

18.11.2012, 16:12

tmo

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Zum wiederholten Male der Tipp: Wenn du solch elementare Sachen wie Polynomdivision nicht beherrscht, dann solltest du dich lieber damit beschäftigen, sie zu lernen, bevor du dich mit weiterführenden Themen beschäftigst.

Sonst nutze halt Wolfram Alpha für die Polynomdivisionen.

18.11.2012, 16:36

Monoid

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Könntest du denn die Lösung zeigen?

18.11.2012, 17:25

Math1986

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Du überforderst dich selbst, und merkst es nicht einmal. Du solltest, wie schon gesagt, erstmal mit der Polynomdivision anfangen, bevor du dich an diese Aufgabe heranmachst.

18.11.2012, 18:39

Monoid

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Ja, trotzdem es ist dringend.

18.11.2012, 18:46

Iorek

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Dann solltest du dich dringend mit den nötigen Grundlagen beschäftigen.

Eine fertige Lösung wird dir auch sonst aus Prinzip keiner aufschreiben; ein Weg wurde dir vorgegeben, die grundlegenden Schritte musst du schon selbst machen.

22.11.2012, 16:23

Monoid

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Hallo,

Na ich zeige mal meinen Ansatz zum euklidischen Algorothmus:

$\begin{eqnarray*} (1+4 p^{4}) : (2 p^{3}+3 p^{2}+2 p+3)=2 p , R (-6 p^{3} - 4 p^{2}-6p+1) (2 p^{3}+15 p^{2}+20 p) : (-6 p^{3}-4 p^{2}-6 p+1) = 3 , R ( 20p^{3}+15 p^{2}+20 p) \end{eqnarray*}$

Aber ab jetzt wird es doch aussichtslos, ich könnte zwar theoretisch immer weiter machen, aber ob das was bringt, wenn ich die ganze Zeit sowas wie 3,R(...) oder -1R(...) etc. habe, oder irre ich mich?

Ist es bis hier überhaupt richtig? Ich habe andere Polynome genommen, was jetzt aber keine Rolle spielt.

22.11.2012, 17:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
$\begin{eqnarray*} (1+4 p^{4}) : (2 p^{3}+3 p^{2}+2 p+3)=2 p , R (-6 p^{3} - 4 p^{2}-6p+1) \end{eqnarray*}$

Richtig durchgeführt darf das Restpolynom keinen Grad haben, der größer oder gleich (!) dem Grad des Divisors ist. unglücklich

22.11.2012, 17:51

RavenOnJ

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@mathe^3

$\begin{align*} 1+4 p^4 \end{align*}$ kann niemals eine Primzahl sein, die Voraussetzung ist also unnötig.

Denn es gilt für $\begin{align*} \forall p\in \mathbb{Z}\land p\not\equiv 0\mod 5 \end{align*}$ :

$\begin{eqnarray*} p^4\equiv 1 \mod 5 \Longrightarrow 1+4 p^4\equiv 0\mod 5 \end{eqnarray*}$

Edit: Für $\begin{align*} p\equiv 0\mod 5 \end{align*}$ seh ich allerdings gerade doch keine andere Begründung als über die Reduzibilität des Polynoms $\begin{align*} 1+4 p^4 \end{align*}$

22.11.2012, 18:49

Monoid

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Hallo,

Danke, für die Antwort!

Warum ist denn $\begin{eqnarray*} p^{4} \equiv 1 (\mod 5) \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2012, 19:10

RavenOnJ

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rechne mal aus:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \begin{align*} \overline{1}^4 &\equiv 1\mod 5 \overline{2}^4 &\equiv 1\mod 5 \overline{3}^4 &\equiv 1\mod 5 \overline{4}^4 &\equiv 1\mod 5 \end{align*} \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

22.11.2012, 19:28

Monoid

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Was heißt denn $\begin{eqnarray*} \overline{1} \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2012, 19:33

RavenOnJ

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das ist die Äquivalenzklasse aller Zahlen, die durch 5 geteilt einen Rest von 1 haben:

$\begin{eqnarray*} \overline 1 := \{n: n = 1 +5a, a\in\mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

22.11.2012, 19:55

Monoid

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Naja, $\begin{eqnarray*} \overline{m}^{4} \equiv 1 (\mod 5) \text{wenn} m=4\text{oder?} \end{eqnarray*}$

Weil 1:5=0,R 5

22.11.2012, 20:22

RavenOnJ

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lös mal lieber dein ursprüngliches Problem

23.11.2012, 06:50

Monoid

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Ja, aber mit dem ggT etc. woltte ich mittels Induktion zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 1+4 p^{4} \end{eqnarray*}$ niemals ein Primzahl ist.
(I.A.): $\begin{eqnarray*} p \to 1: 1+4 \cdot 1=5 \end{eqnarray*}$
(I.S.): $\begin{eqnarray*} p \to p+1 : 1+4 (p+1)^{4}=(1+4 p^{4})+(16 p^{3}+24 p^{2}+16 p+4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das mit dem ggT gezeigt hätte, wäre die Aussage gezeigt.

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Ok, danke, deinen Weg für den ersten Fall habe ich verstanden.

Dann guck ich mir mal die Reduziblität an.

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edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

23.11.2012, 09:28

RavenOnJ

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RE: Ggt teilerfremd

Zitat:

Original von Mathemathemathe

In der Frage ist vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} 1+4p^{4} \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist.

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ja, aber mit dem ggT etc. woltte ich mittels Induktion zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 1+4 p^{4} \end{eqnarray*}$ niemals ein Primzahl ist.

Was denn nun? Voraussetzung oder Problem? Vielleicht solltest du mal an der Formulierung deiner Problemstellungen arbeiten. Außerdem bist du schon von verschiedenen Seiten darauf hingewiesen worden, dass du mal den Euklidischen Algorithmus anwenden sollst. Der funktioniert nämlich auch für Polynome. Dabei wird rasukommen, dass das Polynom reduzibel ist, woraus dann folgt, dass es niemals eine Primzahl darstellen kann.

23.11.2012, 11:38

Monoid

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Und wie ist es richtig ausgeführt?

23.11.2012, 12:17

RavenOnJ

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mach dich mal schlau, was der Euklidische Algorithmus ist, und wende den dann auf deine beiden Polynome an. Ich meine, bei wikipedia wäre das auch erklärt.

[Mir scheint, die heutige, sehr junge Generation muss man inzwischen zu den Netz-Analphabeten zählen. Wahrscheinlich hat man in der Altersklasse noch nie was von google oder wikipedia gehört, da besteht das Netz ausschließlich aus facebook und für manche dann vielleicht noch aus matheboard. Big Laugh

]

23.11.2012, 12:34

Monoid

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Naja, aber Wiki kannte ich schon vor dem Matheboard. Und facebook, da war ich noch nie drauf. Ich will dort auch nie drauf.
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Hatte ich denn oben nicht den euklidischen Algorithmus angewendet? verwirrt auch nachdem ich auf Wikigeckugt habe, verstehe ich ihn immer noch gleich, also wie oben.
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edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

23.11.2012, 12:55

RavenOnJ

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na, wenn du wikipedia kennst, dann such mal dort. Da man dich anscheinend zum Jagen tragen muss, hier der Link.

23.11.2012, 14:18

Monoid

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Ich komm aber trotz allen Bemühungen nicht gahinter, was ich statt p oder danach nehmen soll.
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Hallo,

$\begin{eqnarray*} (1+4 p^{4} ) : (4p^{3}+6 p^{2}+4 p+1)=p \end{eqnarray*}$ und dann? Was kommt nach p?

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Könntet ihr mir denn nur sagen was der ggT ist?

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Wäre der ggT nicht $\begin{eqnarray*} 5 p^{2}+5 p+\frac{10}{4} \end{eqnarray*}$ ?

P.S. Aber das ist ja keine ganze Zahl?

P.P.S der ggT( $\begin{eqnarray*} 1+4p^{4} , 16 p^{3} +24 p^{2} +16 p +4 \end{eqnarray*}$ ) ist doch $\begin{eqnarray*} 5 p^{2}+5 p + \frac{40}{16} \end{eqnarray*}$ ?
Aber das ist doch auch keine ganze Zahl?

edit von sulo: Vierfachpost zusammengefügt.

24.11.2012, 09:47

RavenOnJ

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