Gruppen: abelsch, neutrales Element, Produktzeichen

18.11.2012, 12:46

Paul123

Gruppen: abelsch, neutrales Element, Produktzeichen

Meine Frage:
Sei G eine Gruppe. Man sagt G ist abelsch, wenn für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in G \end{eqnarray*}$ stets ab = ba gilt. Ist $\begin{eqnarray*} |G| < \infty \end{eqnarray*}$ , so sagt man, dass G eine endliche Gruppe ist.

Zeigen Sie:

(a) Sei G eine endliche abelsche Gruppe und es bezeichne $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ das neutrale Element von G. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{g\in G} g^2 = e \end{eqnarray*}$ .

(b) Sei G eine Grupe und $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ das neutrale Element. Falls für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g^{2} = e \end{eqnarray*}$ , so ist G abelsch.

Meine Ideen:
Ich komm leider überhaupt nicht auf einen Lösungsansatz, warum soll das Produkt denn das neutrale Element sein?
$\begin{eqnarray*} (g_{1} o g_{1}) o (g_{2} o g_{2}) o ...o (g_{n} o g_{n}) \end{eqnarray*}$ das neutrale Element wäre ja dann, dass alle Elemente g1,g2,g3,gn die neutrale Elemente sein müssten, heißt alle müssten gleich sein, oder?

18.11.2012, 12:49

tmo

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Erstmal zu a) Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G} g^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Ferner gilt $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g^2 = \prod_{g \in G} g \cdot \prod_{g \in G} g \end{eqnarray*}$ , da G abelsch ist.

18.11.2012, 12:58

Paul1234

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Zitat:

Original von tmo
Erstmal zu a) Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G} g^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Warum? Das inverse Element kann ich ja gar nicht wissen, da das neutrale Element ja auch nur "allgemein" gegeben und nicht klar definiert ist oder? Bzw. warum ist das Produkt von g aus G, das gleiche wie das Produkt von g^-1?

Zitat:

Ferner gilt $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g^2 = \prod_{g \in G} g \cdot \prod_{g \in G} g \end{eqnarray*}$ , da G abelsch ist.

Das ist klar

18.11.2012, 13:01

tmo

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Ich kann sogar eine beliebige Bijketion $\begin{eqnarray*} f: G \to G \end{eqnarray*}$ nehmen und dann gilt $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G} f(g) \end{eqnarray*}$ .

Denn links werden ja einfach alle Gruppenelemente multipliziert. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist, passiert rechts genau dasselbe.

Und die Inversenbildung ist ja eine Bijektion. Jedes Element hat genau ein Inverses.

18.11.2012, 13:10

Paul1234

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Ok, mein Ziel ist ja zu Zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{g\in G} g * \prod\limits_{g\in G} g^{-1} = e \end{eqnarray*}$ ist.

Das kann ja schätze ich mal nicht reichen, wenn ich sage, dass $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G} g^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

18.11.2012, 13:12

tmo

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Zitat:

Original von Paul1234
Ok, mein Ziel ist ja zu Zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{g\in G} g * \prod\limits_{g\in G} g^{-1} = e \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist trivial.

18.11.2012, 13:43

Paul1234

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Und wie kann ich bei (b) anfangen?

18.11.2012, 13:45

tmo

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Wenn wir die Vorraussetzung in b) umformulieren bedeutet das ja einach nur $\begin{eqnarray*} g=g^{-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du einfach bei $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ anfangen und umformen bis du bei $\begin{eqnarray*} ba \end{eqnarray*}$ angekommen bist. Der Beweis ist weniger als eine Zeile.

18.11.2012, 14:38

Paul1234

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Vielen Dank! Freude

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