Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit U = 257 und A = 7956?

18.11.2012, 14:10

Thilo87

Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit U = 257 und A = 7956?

Meine Frage:
Hallo,

ich hatte gerade für jemanden, der fragte, wenn nur U und A eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind, ob man dann die Seitenlängen a, b, c berechnen, dieses "Problem" versucht zu lösen. Dabei kam raus:

U = a + b + c

A = a * b/2 und damit b = 2A/a

a^2 + b^2 = c^2 und damit c = sqrt(a^2 + b^2)

jetzt lässt sich der Umfang als U = a + b + sqrt(a^2 + b^2) berechnen

da b = 2A/a ist, ist

U = a+ (2A/a) + sqrt(a^2 + (2A/a)^2) --- nach a aufgelöst wird das eine quadratische Gleichung, die sich mit der pq-Formel berechnen lässt

p = -(U^2 + 4A)/2U

q = 2A

a1, a2 = -p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q)

dann hat man a1 = a und a2 = b oder a1 = b und a2 = a, d.h. unter a und b lässt sich nicht eindeutig unterscheiden. c hat allerdings den festen Wert

c = sqrt(a1^2 + a2^2)

c lässt sich also eindeutig bestimmen, nur a und b können jeweils das andere sein.

Das ist jetzt sicher nicht der einfachste Weg, aber der einzige, den ich gefunden habe Augenzwinkern

Wenn er überhaupt stimmt...

Jedenfalls kriegt man dabei für U = 257 und A = 7956, so wie die Aufgabe war, kein Ergebnis in R. Heißt das, dass kein ebenes rechtwinkliges Dreieck mit dem Umfang U = 257 und A = 7956 existiert?

Danke

Meine Ideen:
Echt keine Ahnung leider Augenzwinkern

18.11.2012, 14:41

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es nachgerechnet und erst am Ende mit Deinen Berechnungen verglichen und bekomme dasselbe Ergebnis. Also sollte Deine Schlussfolgerung richtig sein.

18.11.2012, 15:26

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit U = 257 und A = 7956?
du hast dich irgendwo verrechnet

18.11.2012, 15:33

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit U = 257 und A = 7956?
@Werner

Es ist genau umgekehrt: U = 257 und A = 7956

Eigentlich wird es schon beim Hinschauen klar, dass es das gesuchte Dreieck nicht geben kann. Augenzwinkern

18.11.2012, 15:39

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit U = 257 und A = 7956?

Zitat:

Original von sulo
@Werner

Es ist genau umgekehrt: U = 257 und A = 7956

Eigentlich wird es schon beim Hinschauen klar, dass es das gesuchte Dreieck nicht geben kann. Augenzwinkern

oje!

da braucht man aber wirklich nicht rechnen!

18.11.2012, 15:42

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, daß uns der Aufgabensteller die Einheiten verschwiegen hat.
Vielleicht sind's ja $\begin{eqnarray*} dm \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cm^2. \end{eqnarray*}$ smile

18.11.2012, 15:56

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

@opi
Gut möglich. Freude

Man findet in Schulbüchern gerne mal solche Fallen, wo zunächst die Einheiten angepasst werden müssen, bevor irgendetwas Sinnvolles berechnet werden kann.

18.11.2012, 16:34

Tesserakt

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich allerdings, wie der Fragesteller darauf kommt, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig festgelegt sei. verwirrt

Meine Überlegungen ergaben
$\begin{eqnarray*} <br /> a_{1;2} = \frac{\sqrt{U^4 + 8AU^2 + 16A^2 - 32A}}{4U} \end{eqnarray*}$

Also bestimmen kann man es schon; nur in diesem Fall ist es in der Tat eine komplexe Zahl.

18.11.2012, 16:46

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du sicher, dass du sagen kannst: Dies ist a, dies ist b und nicht anders ist es möglich. verwirrt

18.11.2012, 17:01

Tesserakt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sulo
Bist du sicher, dass du sagen kannst: Dies ist a, dies ist b und nicht anders ist es möglich. verwirrt

Natürlich kann man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vertauschen, aber dennoch bleibt es ja das gleiche Dreieck.

Nachtrag:

Zitat:

Original von Tesserakt
$\begin{eqnarray*} <br /> a_{1;2} = \frac{\sqrt{U^4 + 8AU^2 + 16A^2 - 32A}}{4U} \end{eqnarray*}$

Es muss natürlich
$\begin{eqnarray*} a_{1;2} = \frac{U^2 + 4A \pm\sqrt{U^4 + 8AU^2 + 16A^2 - 32A}}{4U} \end{eqnarray*}$ sein.

18.11.2012, 17:35

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tesserakt

Zitat:

Original von sulo
Bist du sicher, dass du sagen kannst: Dies ist a, dies ist b und nicht anders ist es möglich. verwirrt

Natürlich kann man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vertauschen, aber dennoch bleibt es ja das gleiche Dreieck.

Nachtrag:

Zitat:

Original von Tesserakt
$\begin{eqnarray*} <br /> a_{1;2} = \frac{\sqrt{U^4 + 8AU^2 + 16A^2 - 32A}}{4U} \end{eqnarray*}$

Es muss natürlich
$\begin{eqnarray*} a_{1;2} = \frac{U^2 + 4A \pm\sqrt{U^4 + 8AU^2 + 16A^2 - 32A}}{4U} \end{eqnarray*}$ sein.

oder noch genauer smile

$\begin{eqnarray*} a_{1,2}=\frac{4A+U^2\pm\sqrt{(4A+U^2)^2-32AU^2}}{4U} \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 18:33

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tesserakt
Natürlich kann man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vertauschen ...

Nichts anderes hat der Fragesteller gesagt.

19.11.2012, 18:00

Tesserakt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
oder noch genauer smile

$\begin{eqnarray*} a_{1,2}=\frac{4A+U^2\pm\sqrt{(4A+U^2)^2-32AU^2}}{4U} \end{eqnarray*}$

Ah, stimmt. So habe ich es auch auf meinem Blatt stehen.
Ich war wohl nicht in der Lage, eine Formel vernünftig abzuschreiben. hm..... mag vorkommen verwirrt

@sulo: hm, ok. Ich dachte, der Fragesteller meint, es gäbe unendlich viele rechtwinklige Dreiecke zu einem gegebenen Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und Umfang $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

edit von sulo: Mehrere Zitate im Zitat entfernt.

20.11.2012, 16:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Über AMGM kann man übrigens schnell abschätzen

$\begin{eqnarray*} U = a+b + \sqrt{a^2+b^2} \geq 2\sqrt{ab} + \sqrt{2ab} = 2(1+\sqrt{2})\sqrt{A} \end{eqnarray*}$ .

Wenn also diese Bedingung $\begin{eqnarray*} U \geq 2(1+\sqrt{2})\sqrt{A} \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt ist, dann kann es ein solches Dreieck nicht geben.

P.S.: Natürlich ist das genau die Bedingung, die zu einer nichtnegativen Diskriminante in der Wurzel der obigen Lösungsdarstellung führt. Augenzwinkern

21.11.2012, 15:09

Thilo87

Auf diesen Beitrag antworten »

Rein interessehalber mal gefragt, weil ich mich gerade mit dem Thema beschäftige: Wäre das oben, also was ich als erstes geschrieben habe, schon ein gültiger Beweis gewesen, dass es ein solches Dreieck nicht gibt? Also dass U >= 2(1 + sqrt(2))sqrt(A) daraus folgt, ist klar, hätte ich auch schreiben können, hatte mir aber die Arbeit gespart Augenzwinkern

Aber wäre mein Eingangsschreiben dafür ein gültiger Beweis?

Neue Frage »

Antworten »

Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit U = 257 und A = 7956?

Verwandte Themen