Ordnungsteilbarkeit von Gruppen

18.11.2012, 17:45

charlydelta

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Ordnungsteilbarkeit von Gruppen

Guten Abend smile

smile

Also ich sitze nun seit gestern an dieser Aufgabe, aber jeden Ansatz den ich verfolge scheint in einer Sackgasse zu enden...

Hier einmal die Aufgabenstellung:

Seien $\begin{eqnarray*} G, H \end{eqnarray*}$ Gruppen und $\begin{eqnarray*} f : G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus. Weiterhin sei
$\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ ein Element endlicher Ordnung.
Zeigen Sie, dass die Ordnung von $\begin{eqnarray*} f (g) \in H \end{eqnarray*}$ ein Teiler der Ordnung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Ansatz basiert auf dem Satz von Lagrange, ich habe mir zu dem die Definitionen von Gruppen, Untergruppen, Untergruppenkriterium und Gruppenhomomorphismen mehrfach durchgelesen und rumprobiert, aber es erschließt sich kein vernünftiger Weg, weil ständig eine Bedingung fehlt. Z.B. setzt der Satz von Lagrange voraus, dass $\begin{eqnarray*} H \subseteq G \end{eqnarray*}$ gilt, wovon ich ja nicht ausgehen kann oder durch andere Definitionen darauf schließen kann (Oder ich übersehe es...)

Ein weiterer Ansatz war die Teilbarkeit anders zu beweisen, und zwar ist ja die Problemfrage, dass ich zeigen muss:

$\begin{eqnarray*} Ord(f(g)) \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} Ord(g) \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht, den Satz von Lagrange anzuwenden, und zwar:
$\begin{eqnarray*} Ord(f(g)) \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} |H| \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(g) \in H \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} Ord(g) \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} |G| \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$

Aber daraus kann man nicht folgern, dass dann auch die Problemfrage gilt.

Mir fehlt einfach ein fundamentaler Zusammenhang... ich übersehe irgendeine Definition oder Assoziation zwischen Aussagen der Sätze... Hat mir jemand einen Rat?

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe smile

smile

Grüße, Chris

18.11.2012, 17:51

RavenOnJ

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wesentlich ist, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Überleg dir, was daraus folgt. Was wäre denn, wenn Ord(f(g)) nicht Teiler von Ord(g) wäre?

18.11.2012, 18:30

charlydelta

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Hallo RavenOnJ, danke für deine Antwort

Leider sehe ich es nicht... aus dem Gruppenhomomorphismus geht nur hervor, dass gelten muss:

$\begin{eqnarray*} f(g+h)=f(g)*f(h) \end{eqnarray*}$ (die Gruppenoperationen sind jedoch nicht gegeben, ich weiß nicht einmal, ob ich das so schreiben darf)

wenn $\begin{eqnarray*} Ord(f(g)) \end{eqnarray*}$ kein Teiler von $\begin{eqnarray*} Ord(g) \end{eqnarray*}$ wäre, dann würde das bedeuten:
$\begin{eqnarray*} \langle f(g) \rangle \nsubseteq \langle g \rangle \end{eqnarray*}$ (nach Lagrange)

Ich sehe keinen Zusammenhang, oder was ich aus diesen Aussagen schließen könnte... Ein Widerspruchbeweis, dass z.B. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kein Homomorphismus sei, wäre denkbar, aber ich komm zu keinem Punkt an dem die Annahme bestätigt wäre...

18.11.2012, 18:36

Math1986

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Hinweis: Sei $\begin{eqnarray*} m=ord(g) \end{eqnarray*}$ . Bestimme $\begin{eqnarray*} f(g^m) \end{eqnarray*}$ . (das $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ bezeichne die m-fache Verknüpfung von g mit sich selbst)

18.11.2012, 19:06

charlydelta

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Vielen Dank für deine Unterstützung Math1986
Das müsste sein...:
$\begin{eqnarray*} f(g^{m})=f(e_{G})=e_{H} \end{eqnarray*}$
Ich seh nur leider nicht worauf das hinaus laufen soll... Ich habe es auch schon in die Gruppenhomomorphismus-Bedingung eingesetzt, aber auch da komme ich auf nichts sinnvolles (vielmehr: etwas was mir sinnvoll erscheint)
Keine Definition hilft mir grad weiter, es scheint als ob mir immer ein Puzzlestück fehlt

18.11.2012, 19:44

Math1986

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Dieser Teil der Gleichung stimmt schonmal.

Mach dir klar, dass Folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} f(g^m)=f(g)^m \end{eqnarray*}$
und überlege, was sich daraus für die gesuchte ordnung ergibt.

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18.11.2012, 22:48

charlydelta

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Ich glaube jetzt was gemeint ist...

Für m = 2 (als Beispiel) krieg ich ja:
$\begin{eqnarray*} f(g^{2})=f(g)^{2} <br /> \Leftrightarrow f(g+g)=f(g)f(g) \end{eqnarray*}$ , was die Definition für den Gruppenhomomorphismus wäre (zumindest teilweise...)

Nur kann ich das sagen? Dass das der Gruppenhomomorphismus ist?
Ich habe dann ja nur ein Element $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , und nicht $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$
Oder kann ich sagen:
$\begin{eqnarray*} g^{m}=e_{G}=h^{n}, \text{ für } n=Ord(h) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(g+h)=f(g)f(h) \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 09:35

Math1986

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Naja, was mit m=2 gilt, gilt auch allgemein, also
$\begin{eqnarray*} f(g^m)=f(g)^m \end{eqnarray*}$
Nach dem, was du gesagt hast, gilt
$\begin{eqnarray*} f(g^m)=f(e_G)=e_H \end{eqnarray*}$
Also insgesamt
$\begin{eqnarray*} f(g)^m=e_H \end{eqnarray*}$
Was folgt daraus für
$\begin{eqnarray*} ord\ f(g) \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 10:45

charlydelta

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Kann das sein?

$\begin{eqnarray*} ord f(g) = ord (e_{H}) \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} g^{1}=g \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} ord (f(g)) = ord (e_{H}) \end{eqnarray*}$ teilbar durch $\begin{eqnarray*} ord(g=e_{H}) \end{eqnarray*}$
Ich seh sonst echt nicht mehr und bin mir dabei auch nicht sicher, zumal die Teilbarkeit dann nur durch das neutrale Element bewiesen wird, aber nicht $\begin{eqnarray*} \forall g \in G \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 10:51

Math1986

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Zitat:

Original von charlydelta
Kann das sein?

$\begin{eqnarray*} ord f(g) = ord (e_{H}) \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} g^{1}=g \end{eqnarray*}$

Wie ist die Ordnung des neutralen Elementes definiert? verwirrt

verwirrt

19.11.2012, 10:54

charlydelta

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natürlich!
Kann ja nur =1 sein...
D.h. ord(f(g))=1, 1 teilt 1(=ord(g)), fertig?

19.11.2012, 10:56

Math1986

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Nein, wie kommst du denn nun auf $\begin{eqnarray*} ord(f(g))=1 \end{eqnarray*}$ ?
Das ist dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} f(g)=e_H \end{eqnarray*}$ , das stimmt doch nicht unglücklich

unglücklich

19.11.2012, 10:58

charlydelta

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Die Aufgabe macht mir echt schwer zu schaffen...
Ich denk besser nochmal gründlich drüber nach

19.11.2012, 10:59

Math1986

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Mit $\begin{eqnarray*} f(g)^m=e_H \end{eqnarray*}$ steht eigendlich schon alles da, du musst das nur noch in Zusammenhang mit der Ordnung bringen.

19.11.2012, 11:50

charlydelta

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Vielen Dank für deine Hilfe. Es tut mir leid, dass ich dafür grad so wenig Verständnis aufbringe, ich übersehe einfach grad was ganz wichtiges :/

Aber ich verstehe jetzt warum $\begin{eqnarray*} ord(f(g)) = 1 \end{eqnarray*}$ nicht sein kann, entschuldige, das hab ich grad echt nicht gesehen.

Des weiteren ist mir aufgefallen, dass mein Schluss falsch ist, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} f(g^{m})=f(g)^{m} \end{eqnarray*}$
Aber wenn die Gleichung gilt, dann muss ja $\begin{eqnarray*} f(g)=g \end{eqnarray*}$ sein..., denn $\begin{eqnarray*} m = ord(g) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f(g)^{m} = e_{H} \end{eqnarray*}$ nur dann sicher gelten kann
Wenn das stimmt, dann kann man daraus folgern, dass $\begin{eqnarray*} ord(f(g)) \text{ die } ord(g) \text{ teilt} \end{eqnarray*}$

Nur dann fehlt mir noch die Begründung warum $\begin{eqnarray*} f(g^{m})=f(g)^{m} \end{eqnarray*}$ gilt, denn für mich sieht das grad eher nach einer Einschränkung aus, als nach einer Allgemeingültigkeit

Edit: Ich glaub grad ist mir die Begründung gekommen: Die Gleichung gilt, weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Wenn das alles stimmt, dann wäre das doch jetzt die Lösung...

19.11.2012, 11:59

RavenOnJ

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Zitat:

Original von charlydelta

... , dann muss ja $\begin{eqnarray*} f(g)=g \end{eqnarray*}$ sein...,

das gilt bestimmt nicht, wenn G ungleich H.

19.11.2012, 12:08

charlydelta

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von charlydelta

... , dann muss ja $\begin{eqnarray*} f(g)=g \end{eqnarray*}$ sein...,

das gilt bestimmt nicht, wenn G ungleich H.

Hmm... Ich finde nur keinen Fehler in meinem Rechenweg...
Hier mal mein Gedankengang:

Wenn ich sage:
$\begin{eqnarray*} f(g^{m})=f(g)^{m} \end{eqnarray*}$ , mit
$\begin{eqnarray*} m := ord(g) \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} g^{m} = e_{G} \end{eqnarray*}$ gilt ja nach Definition nur dann, wenn m die Ordnung von g ist. Und wenn
$\begin{eqnarray*} f(g)^m = e_{H} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(g) = h \in H \end{eqnarray*}$ , dann steht da:
$\begin{eqnarray*} h^{m} = e_{H} \end{eqnarray*}$ , m ist jedoch immernoch definiert als $\begin{eqnarray*} ord(g) \end{eqnarray*}$ , woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} g=h \end{eqnarray*}$ sein muss.

Und in der Aufgabenstellung steht nirgends, dass G ungleich H sein muss... Ich komm nur darauf weil es mir scheint als ob kein anderer Schluss möglich ist :S

19.11.2012, 12:09

RavenOnJ

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Zitat:

Original von charlydelta
$\begin{eqnarray*} f(g)^{m} = e_{H} \end{eqnarray*}$

Dies muss wegen der Eigenschaft "Gruppenhomomorphismus von f" gelten. Aber warum daraus folgt, dass $\begin{align*} ord(f(g))\mid ord(g) \end{align*}$ , ist noch nicht mathematisch klar formuliert. Obwohl ich denke, dass dir das jetzt "irgendwie" klar ist.

19.11.2012, 12:10

RavenOnJ

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Zitat:

Original von charlydelta
Hmm... Ich finde nur keinen Fehler in meinem Rechenweg...

Das ist kein Fehler in deinem Rechenweg, du musst auf die Definition von f gucken.

19.11.2012, 12:18

RavenOnJ

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Das habe ich jetzt erst richtig gelesen und zeigt mir, dass du es doch noch nicht verstanden hast.

Zitat:

Original von charlydelta

Hier mal mein Gedankengang:

Wenn ich sage:
$\begin{eqnarray*} f(g^{m})=f(g)^{m} \end{eqnarray*}$ , mit
$\begin{eqnarray*} m := ord(g) \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} g^{m} = e_{G} \end{eqnarray*}$ gilt ja nach Definition nur dann, wenn m die Ordnung von g ist. Und wenn
$\begin{eqnarray*} f(g)^m = e_{H} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(g) = h \in H \end{eqnarray*}$ , dann steht da:
$\begin{eqnarray*} h^{m} = e_{H} \end{eqnarray*}$ , m ist jedoch immernoch definiert als $\begin{eqnarray*} ord(g) \end{eqnarray*}$ ,

bis hierhin richtig, aber was jetzt kommt, ist eine falsche Schlussfolgerung

Zitat:

... woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} g=h \end{eqnarray*}$ sein muss.

Nein

Zitat:

Und in der Aufgabenstellung steht nirgends, dass G ungleich H sein muss... Ich komm nur darauf weil es mir scheint als ob kein anderer Schluss möglich ist :S

Nein, das steht nirgends, trotzdem gilt die Behauptung auch für $\begin{align*} G\cap H = \emptyset \end{align*}$ .

19.11.2012, 13:00

charlydelta

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Vielen Dank, ich verstehe warum das nicht sein kann und warum $\begin{eqnarray*} f(g^{m})=f(g)^{m} \end{eqnarray*}$ trotzdem gilt... Klar... Die Gruppenhomomorphismusdefinition...
Ich versteh grad selbst nicht warum mir die Aufgabe so schwer fällt -.-
Ich arbeite jetzt mal mit dem was ich weiß weiter (Nochmal vielen Dank für eure Hilfe)
Wenn ich neue Ergebnisse habe melde ich mich wieder.

23.11.2012, 12:39

charlydelta

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Ich war diese Woche leider krank, weswegen ich nicht wie erhofft weiter daran arbeiten konnte... Bin seit gestern wieder dran, aber ich komm echt nicht drauf.

Warum aus $\begin{eqnarray*} f(g)^{m}=e_{H} \end{eqnarray*}$ folgt, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} ord(f(g)) \text{ teilt } ord(g) \end{eqnarray*}$ will mir einfach nicht einleuchten.

Ich finde keine Definition die darauf schließen lässt... Ich weiß, dass es echt nicht schwer ist, und ich fühl mich grad wie jemand der beim Memory ein Pärchen aufdeckt und es nicht schnallt Forum Kloppe

Forum Kloppe

verwirrt

Edit: latex korrigiert

23.11.2012, 13:42

RavenOnJ

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Dann zeige ich es dir:

Sei
$\begin{eqnarray*} \small ord(g) = m\cdot ord(f(g)) + n\text{ mit }m,n\in \mathbb{N}_0, n < ord(f(g)) \end{eqnarray*}$

Dies muss ganz allgemein gelten, egal ob $\begin{align*} ord(f(g)) \mid ord(g) \end{align*}$ oder $\begin{align*} ord(f(g)) \nmid ord(g) \end{align*}$ .

Jetzt gilt ja

$\begin{eqnarray*} e_H = f(g)^{ord(g)} = f(g)^{m\cdot ord(f(g)) + n} = \left(f(g)^{ord(f(g))}\right)^m \cdot f(g)^n = e_H^m\cdot f(g)^n = f(g)^n \end{eqnarray*}$

Da $\begin{align*} ord(f(g)) \end{align*}$ die kleinste Zahl k > 0 ist, für die $\begin{align*} f(g)^k = e_H \end{align*}$ gilt, folgt, dass n =0 und damit $\begin{align*} ord(f(g)) \mid ord(g) \end{align*}$ .

Gruß
Peter

23.11.2012, 16:52

charlydelta

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Hey RavenOnJ,

vielen Dank für deine Antwort.
Ja, jetzt dämmerts... Darauf wäre ich so schnell nicht gekommen...
Vielen vielen Dank smile

smile

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