z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph |
18.11.2012, 18:20 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Sei K ein Körper. 0 das neutrale Element bzgl der addition , 1 das neutrale element bzgl der multiplikation zu zeigen und sind nicht isomorph Meine Ideen: Beweis durch widerspruch angenmmen es es ein isomorphismus dann gilt und und f(0)=1 und Leider weis ich nicht, wie genau ich den widerspruch herbeiführen soll. Danke für die Hilfe |
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18.11.2012, 18:25 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Ok, wie sieht man z.B. für einen endlichen Körper, dass es da keinen Isomorphismus geben kann? |
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18.11.2012, 18:37 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Ja für einen endlichen Körper ist es ja klar, weil ich unterschiedliche Anzahl an Elementen in den Gruppen habe. |
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18.11.2012, 18:44 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Richtig... Wenden wir uns also den unendlichen Körpern zu...Welche Struktureigenschaften der multiplikativen Gruppe eines Körpers kennst du? |
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18.11.2012, 18:54 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Was meinst gu genau mit Struktureigenschaften? Also allgemein weis ich, das dies eine kommutative Gruppe ist, mit eindeutigen Inversen. |
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18.11.2012, 18:56 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Hm, sind Inverse denn normalerweise nicht eindeutig in einer Gruppe? |
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18.11.2012, 18:58 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Doch eigentlich schon, oder nicht? |
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18.11.2012, 19:02 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Dann versteh ich aber nicht, warum du das hervorhebst, wenn das ohnehin in jeder Gruppe gilt... Und ja, die Kommutativität ist auch keine Eigenschaft, welche die additive und multiplikative Gruppe ev. unterscheidet... Kennst du denn keine weiteren Eigenschaften dieser beiden Gruppen, anhand derer man sie dann vielleicht unterscheiden könnte? |
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18.11.2012, 19:06 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph keine ahnung, ob das der unterschied ist auf den du hinaus willst. aber in der multiplikativen gruppe kann ich zwei selbstinverse elemente haben ( kann aber auch nur eins geben) , in der additiven gruppe habe ich immer nur ein selbstinverses element ( die 0) ein weiterer unterschied fällt mir grade nicht ein. |
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18.11.2012, 19:10 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Du meinst, in mit gäbe es nur ein Selbstinverses? Das Gegenteil ist der Fall: Sämtliche Elemente sind da selbstinvers... Ne, ich meine Eigenschaft, die sich auf endliche Untergruppen bezieht... |
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18.11.2012, 19:19 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph ok mit geb ich dir recht naja wenn ich google komme ich darauf das "Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch" aber das einzige was ich aus der Vorlesung über Untergruppen weis, ist das sie existieren und abgeschlossen bezüglich der verknüpfung sind und die inversen auch jeweils enthalten sind. |
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18.11.2012, 19:23 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Hm, habt ihr nicht wenigstens die schwächere Formulierung bewiesen, dass die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist? |
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18.11.2012, 19:28 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Nein, wir haben lediglich endliche Körper eingeführt und festgestellt das die charakteristik immer eine Primzahl ist. Ich wüsste auch nicht inwiefern mit das Helfen soll, denn für endliche Körper ist die Sache ja klar. Ich habe ja nur ein Problem mit "unendlichen" Körpern. |
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18.11.2012, 19:37 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Noch einmal: Ich rede hier von endlichen Untergruppen, d.h., der Körper K selber muss nicht endlich sein... Nehmen wir nun mal den Fall, dass die Charakteristik des Körpers p ist und nehmen wir zwei Elemente a und b, für die <a> und <b> in (K,+) nicht zusammenfällt... Was weißt du dann über die Struktur von <a,b>? |
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18.11.2012, 19:40 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph keine ahnung meinst du mit <a> alle von a erzeugten elemente? was genau meinst du mit <a,b> alle von dem produkt ab erzeugten elemente? alle von der summe erzeugten elemente? |
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18.11.2012, 19:50 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Nocheinmal: Ich setze voraus, dass der Körper die Charakteristik p hat (also nicht 0)... Wie schaut dann das Erzeugnis <a>von a, <b> von b und <a,b> von beiden in der additiven Gruppe des Körpers aus? Vor allem, wieveile Elemente enthalten sie? |
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18.11.2012, 19:59 | Lennardt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph es tut mir leid, ich hab keine Ahnung worauf du hinaus willst. ich danke dir für deine Hilfe und wünsch dir noch nen schönen Abend. |
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18.11.2012, 20:08 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph Ok, wegen der Charakteristik p gilt ja pa=pb=0, d.h., <a> und >b> haben beide p Elemente und <a,b> hat p² Elemente, ist aber nicht zyklisch... Sowas kann es dann in der multiplikativen Gruppe nicht geben... |
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