z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph

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Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Meine Frage:
Sei K ein Körper. 0 das neutrale Element bzgl der addition , 1 das neutrale element bzgl der multiplikation

zu zeigen und sind nicht isomorph

Meine Ideen:
Beweis durch widerspruch

angenmmen es es ein isomorphismus

dann gilt und
und f(0)=1 und

Leider weis ich nicht, wie genau ich den widerspruch herbeiführen soll. Danke für die Hilfe
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Ok, wie sieht man z.B. für einen endlichen Körper, dass es da keinen Isomorphismus geben kann?
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Ja für einen endlichen Körper ist es ja klar, weil ich unterschiedliche Anzahl an Elementen in den Gruppen habe.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Richtig... Freude

Wenden wir uns also den unendlichen Körpern zu...Welche Struktureigenschaften der multiplikativen Gruppe eines Körpers kennst du?
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Was meinst gu genau mit Struktureigenschaften?

Also allgemein weis ich, das dies eine kommutative Gruppe ist, mit eindeutigen Inversen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Hm, sind Inverse denn normalerweise nicht eindeutig in einer Gruppe?
 
 
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Doch eigentlich schon, oder nicht?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Dann versteh ich aber nicht, warum du das hervorhebst, wenn das ohnehin in jeder Gruppe gilt... verwirrt

Und ja, die Kommutativität ist auch keine Eigenschaft, welche die additive und multiplikative Gruppe ev. unterscheidet... Kennst du denn keine weiteren Eigenschaften dieser beiden Gruppen, anhand derer man sie dann vielleicht unterscheiden könnte?
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
keine ahnung, ob das der unterschied ist auf den du hinaus willst. aber in der multiplikativen gruppe kann ich zwei selbstinverse elemente haben ( kann aber auch nur eins geben) , in der additiven gruppe habe ich immer nur ein selbstinverses element ( die 0)

ein weiterer unterschied fällt mir grade nicht ein.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Du meinst, in mit gäbe es nur ein Selbstinverses? Das Gegenteil ist der Fall: Sämtliche Elemente sind da selbstinvers... geschockt

Ne, ich meine Eigenschaft, die sich auf endliche Untergruppen bezieht...
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
ok mit geb ich dir recht Augenzwinkern


naja wenn ich google komme ich darauf das "Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch"

aber das einzige was ich aus der Vorlesung über Untergruppen weis, ist das sie existieren und abgeschlossen bezüglich der verknüpfung sind und die inversen auch jeweils enthalten sind.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Zitat:
Original von Lennardt
naja wenn ich google komme ich darauf das "Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch"

Hm, habt ihr nicht wenigstens die schwächere Formulierung bewiesen, dass die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist? verwirrt
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Nein, wir haben lediglich endliche Körper eingeführt und festgestellt das die charakteristik immer eine Primzahl ist. Ich wüsste auch nicht inwiefern mit das Helfen soll, denn für endliche Körper ist die Sache ja klar. Ich habe ja nur ein Problem mit "unendlichen" Körpern.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Noch einmal: Ich rede hier von endlichen Untergruppen, d.h., der Körper K selber muss nicht endlich sein...

Nehmen wir nun mal den Fall, dass die Charakteristik des Körpers p ist und nehmen wir zwei Elemente a und b, für die <a> und <b> in (K,+) nicht zusammenfällt... Was weißt du dann über die Struktur von <a,b>?
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
keine ahnung

meinst du mit <a> alle von a erzeugten elemente?

was genau meinst du mit <a,b> alle von dem produkt ab erzeugten elemente? alle von der summe erzeugten elemente?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Nocheinmal: Ich setze voraus, dass der Körper die Charakteristik p hat (also nicht 0)... Wie schaut dann das Erzeugnis <a>von a, <b> von b und <a,b> von beiden in der additiven Gruppe des Körpers aus? Vor allem, wieveile Elemente enthalten sie?
Lennardt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
es tut mir leid, ich hab keine Ahnung worauf du hinaus willst. ich danke dir für deine Hilfe und wünsch dir noch nen schönen Abend.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z ( K , 0,+) und ( k?,1,* ) isomorph
Ok, wegen der Charakteristik p gilt ja pa=pb=0, d.h., <a> und >b> haben beide p Elemente und <a,b> hat p² Elemente, ist aber nicht zyklisch... Sowas kann es dann in der multiplikativen Gruppe nicht geben...
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