x² aus Gleichung eliminieren

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
x² aus Gleichung eliminieren
Guten Abend zusammen.
Auf dem aktuellen Übungsblatt bei mir in Computeralgebra ist eine seltsame Aufgabe...

Sei ein Körper mit . Betrachte die Gleichung



und ersetze durch .
Eliminiere schließlich aus der resultierenden Gleichung.

Also, ich habe ein bisschen rumgerechnet (bei den ganzen Multiplikationen und den Indizes eine kleine Geduldsprobe Big Laugh ).

Letztendlich bin ich auf folgende Gleichung gekommen:



Das müsste stimmen, habe es zumindest zweimal durchgerechnet. Hier sind jetzt zwei Dinge, die mich etwas irritieren: Wie kann man bei endlichen Körpern mit Charakteristik denn überhaupt von Brüchen ausgehen? Das sehe ich in dieser Form zum ersten Mal und das hat mich stutzig gemacht.

Und wie soll ich denn bitte jetzt das aus der Gleichung eliminieren? Irgendwie stehe ich hier gerade voll auf dem Schlauch. Vielleicht hat ja jemand von euch einen Tipp für mich.

Danke schonmal im Voraus! smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: x² aus Gleichung eliminieren
Was die Nenner betrifft, so sind die kein Problem, da ja und damit invertierbar ist... Ferner kannst du, da auch gilt, den Koeffizienten von x² immer wie folgt wegtransformieren:

alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das mit den Nennern ist wirklich einleuchtend (ich denke oft viel zu kompliziert...)

So ganz kann ich deinem anderen Tipp nicht folgen, aber gerade schoss es mir durch den Kopf:

Prinzipiell habe ich es ja mit einer kubischen Gleichung der Form zu tun. Kann ich dann nach dem Ansatz von Cardano einfach setzen und die Gleichung dann in die reduzierte Form bringen mit und ?


Nach 10 Stunden Uni qualmt der Kopf ganz schön, von daher sorry, falls die Frage etwas trivial erscheinen sollte.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da denkst du wieder mal zu kompliziert... Es geht ja schließlich hier nicht darum eine kubische Gleichung zu lösen, sondern du musst nur durch eine lineare bijektive Transformation das x² "wegkriegen"... Noch einmal, wenn gilt

x³+ux²+vx+w

so setze als neues x einfach x-u/3 und du hast das Ziel erreicht... Seltsam, dass du diesen "Trick" zwar kennst (s. o.) aber offenbar noch nicht so ganz verstanden hast... verwirrt

Edit: Ok, vielleicht meinst du eh das Gleiche, aber hast es für meine Begriffe nur etwas zu "weitschweifig" ausgedrückt... Augenzwinkern
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube auch, dass wir dasselbe meinen.

Was mich etwas irritiert, ist, dass ich diese Transormation nur so kenne, dass x = y - u/3 gesetzt wird.

Kann ich denn wirklich einfach x = x - u/3 setzen?
Mit diesen Transformationen hatte ich nie etwas zu tun gehabt, außer einmal kurz zur Lösung kubischer Gleichungen. Deswegen bin ich etwas verwundert, dass man die Variable einfach "beibehält".

Vielleicht sagt die Professorin da übermorgen aber noch etwas dazu. Meistens sind Vorlesungen und Übungen zeitlich leider nicht so gut aufeinander abgestimmt.

Ist denn die Transformation von y, die in der Aufgabenstellung steht, auch solch eine lineare Transformation?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alcardaalanda
Kann ich denn wirklich einfach x = x - u/3 setzen?

Ja, da es, zusammen mit y=y eine lineare Bijektion ist...

Zitat:
Original von alcardaalanda
Ist denn die Transformation von y, die in der Aufgabenstellung steht, auch solch eine lineare Transformation?

Klares ja dazu (ergänzt durch x=x)... Daher verwundert mich ja gerade deine Verwunderung so, denn da hast du dich noch nicht dagegen "gewehrt"... Augenzwinkern
 
 
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