Gleichheit Span

19.11.2012, 22:17

akamanston

Gleichheit Span

hi=(,
kan mir jemand bitte bei folgender aufgabe helfen?

span((1,0,0) ; (0,2,0)) = span((1,0,0) ; (1,1,0)) im R^3

die idee ist doch, dass wenn ein Vektor in einem Span ist, dann ist er auch im anderen. Das bedeutet zu beweisen, dass zwei Mengen gleich sind. aber ich weiß nicht wie ich das schreiben soll, ich habe echt kein blassenschimmer.

20.11.2012, 09:22

Mazze

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Du könntest zeigen, dass jeweils 3 der ausgewählten Vektoren linear Abhängig sind. Dann folgt sofort dass die Erzeugendensysteme gleich sein müssen, da die Vektoren paarweise linear Unabhängig sind (mit einer offensichtlichen Ausnahme). Alternativ kannst Du auch deinen Weg gehen. Es sei etwa

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v \\ w \\ 0 \end{pmatrix} \in span_1 \end{eqnarray*}$ , dann finde $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v \\ w \\ 0 \end{pmatrix} = a*\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wäre schonmal $\begin{eqnarray*} span_1 \subseteq span_2 \end{eqnarray*}$ . Das selbe natürlich noch für die andere Inklusion

20.11.2012, 11:23

akamanston

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ja genau, das habe ich jetrzt mittlerweile auch.
nur wie soll ihc das ganze lösen? 4 unbekante 2 gleichungen. kann ich mir v und w beliebig wählen?

20.11.2012, 11:28

Mazze

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Zitat:

nur wie soll ihc das ganze lösen? 4 unbekante 2 gleichungen.

Das ist nicht ganz richtig. v und w sind beliebig aber fest. Die unbekannten sind lediglich a und b. Also 2 Gleichungen und 2 unbekannte.

Zitat:

kann ich mir v und w beliebig wählen?

Wie meinst Du das? Du darfst nicht einfach Zahlen einsetzen. Wir wollen zeigen, dass jeder Vektor aus Span1 auch in Span2 ist. Da kannst Du nicht einfach für v und w was einsetzen, denn dann würdest Du nur für diesen speziellen Vektor zeigen, dass er in Span2 ist und nicht für alle.

Sprich , v,w sind Parameter und a,b die Unbekannten. Die Lösung des Gleichungssystems wird dann von v und w abhängig sein.

20.11.2012, 18:30

akamanston

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okok, ich habe jetzt folgendes gemacht.
ich scann am besten gleich meine lösung ein.

[attach]26800[/attach][attach]26801[/attach]

20.11.2012, 18:48

Mazze

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Zunächst einmal macht der Ausdruck

"muss ich aus span(x,y)" bilden lassen keinen Sinn. Was Du meinst ist, dass sich der entsprechende Vektor aus den Vektoren x,y (per Linearkombination) bilden lässt.

Alles danach ist aber leider falsch. Aus welchem Grund nimmst Du an, dass für

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in span_1 \end{eqnarray*}$

bitteschön $\begin{eqnarray*} a = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = 2r \end{eqnarray*}$ folgen soll? Wie ich schon sagte du darfst nicht einfach für a und b irgendwas einsetzen. Das einzige was wir über a und b wissen ist, dass es reelle Zahlen sind. Sobald du auch nur irgendwelche Einschränken an diese beiden Parameter stellst, schränkst Du die Menge über die Du die Aussage triffst ein und Du erwischst nicht mehr den ganzen Span.

Exemplarisch die Inklusion $\begin{eqnarray*} span_1 \subseteq span_2 \end{eqnarray*}$

Es sei also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \in span_1 \end{eqnarray*}$

dann ist also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{b}{2}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht sind zwei Konstanten $\begin{eqnarray*} c,d \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ergibt zwei Gleichungen :

$\begin{eqnarray*} a = c + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = d \end{eqnarray*}$

Daraus folgt durch einsetzen der zweiten Gleichung in die erste also

$\begin{eqnarray*} a - b = c \end{eqnarray*}$

Damit ist also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} = (a - b)\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daher ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \in span_2 \end{eqnarray*}$

edit : Wenn mans genau nimmt, kann man den kompletten Beweis aus obigen zusammenbasteln.

20.11.2012, 19:05

akamanston

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Zitat:

Original von Mazze
dann ist also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{b}{2}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

edit : Wenn mans genau nimmt, kann man den kompletten Beweis aus obigen zusammenbasteln.

ohje, was mache ich nur.
wieso steht da b/2???

meinst du mit kompletten beweisen noch die andere richtiung ? von span2 ---> span1 oder?

20.11.2012, 19:07

Mazze

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Zitat:

wieso steht da b/2???

Einfach mal nachrechnen?

Zitat:

meinst du mit kompletten beweisen noch die andere richtiung ? von span2 ---> span1 oder?

Dadurch das ich den Vektor (a,b,0) ganz allgemein betrachtet habe und ihn durch die Basisvektoren aus beiden Spans dargestellt habe liegen alle diese Vektoren in beiden Mengen. Jetzt müsste man nur kurz argumentieren, warum es keiner weiteren Vektoren in den Mengen geben kann, aber das ist nahezu trivial.

20.11.2012, 19:15

akamanston

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aber ich nehme nicht an dass a=2 ist , da soll lambda sein a=lambda. und b=2mü

zum b/2.

du hast doch einfach nur den vektor abc aus dem spann 1 zuammengesetzt. weil ab0 ja element davon ist. also müsste es doch heißen ab0 = a(100) + b(020)

20.11.2012, 19:22

Mazze

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Zitat:

aber ich nehme nicht an dass a=2 ist , da soll lambda sein a=lambda. und b=2mü

Um solche Probleme zu vermeiden ist es durchaus sinnvoll den Formeleditor des Forums zu verwenden.

Zitat:

also müsste es doch heißen ab0 = a(100) + b(020)

Nein wieso? Diese Gleichung ist falsch.

$\begin{eqnarray*} a\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a \\ 2b \\ 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}a \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.11.2012, 19:33

akamanston

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ist das dann immer noch falsch ?

20.11.2012, 19:36

Mazze

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Soweit ich das überblicke sind die Berechnungen dann korrekt.

20.11.2012, 19:39

akamanston

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oh gott, danke, ich stand kurz vorm kollaps. ok jetzt kann ich mich wieder voll dem anderen problem widmen=)

aber deine lösung ist viel schöner und so einfach- echt beeindruckend

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