Isomorphismen

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millisaa Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismen
Hallo, bräuchte bei einer Aufgabe bitte eure TippsAugenzwinkern

Sei (G,°) eine Gruppe und beliebig aber fest. Wir definieren durch folgende Vorschriften zwei folgende Verknüfungen auf G:

für alle
für alle

Zeigen Sie, dass die drei Gruppen , , isomorph sind.

Bitte dringend um Hilfe Big Laugh smile
danke schonmal Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab erst mal selber eine Idee und schreib sie hin.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2 Gruppen und sind genau dann isomorph, wenn es einen Gruppenisomorphismus gibt. Finde geeignete Abbildungen und zeige, dass es Isomorphismen sind, dann bist du auch schon fertig. Tipp: Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation, also genügen schon 2 Abbildungen.
millisaa Auf diesen Beitrag antworten »

muss man die Gruppen auf Gleichheit im Bezug auf die inversen, die Assoziativität, die neuralen Elemente zeigen.
Könnte ich so anfangen ...
ich weiß nicht ganz genau wie das aussehen soll...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zeigen möchtest, dass ein Gruppenhomomorphismus ist, musst du zeigen .
Nun ist aber leider , und es ist überhaupt nicht klar, warum das gleich sein soll, und das gilt ja auch nur für abelsche Gruppen, und dort ist das trivial.
Das zeigt, dass diese Abbildung ganz schlecht gewählt ist, weil sie zwar bijektiv, aber im allgemeinen nicht homomorph ist.

Die Kunst, diese Aufgabe zu lösen, besteht in der erfindungsreichen Wahl einer geeigneten Abbildung. Hier ist nicht stumpfes Rechnen gefragt sondern geistreiche Phantasie, mit anderen Worten: Mathematik. Also genau das, was uns Spaß macht. Augenzwinkern
millisaa Auf diesen Beitrag antworten »

wäre das so eine Möglichkeit oder bin ich da ganz auf dem falschen weg ?
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Hier ist nicht stumpfes Rechnen gefragt sondern geistreiche Phantasie,


Naja soviel Phantasie braucht man gar nicht.

Wenn man eine beliebige Gruppe (und sonst nichts, wie beim zweiten Beispiel hier der Fall) hat, so kennt man ja a priori nur 2 Abbildungen.

Nämlich die Identität und eine weitere Abbildung, die in der Definition einer Gruppe postuliert wird.

Da die Identität hier nicht geklappt hat, muss es wohl oder übel die andere sein...Welche meine ich?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar hat nicht jede/jeder genügend Phantasie, um aus 2 Abbildungen eine auszuwählen. Für das nächste Beispiel muss man auch noch rechts und links unterscheiden können. Big Laugh
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Offenbar hat nicht jede/jeder genügend Phantasie, um aus 2 Abbildungen eine auszuwählen.


Ja, das stimmt in der Tat.

Dabei ist es manchmal so einfach: Statt sich zu fragen "Was soll ich hier tun?" sollte man sich manchmal lieber fragen "Was kann ich hier überhaupt tun?". Meistens ist das, was man tun kann, auch schon das was man tun soll Big Laugh
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Möglich wäre natürlich auch noch, dass er/sie sich einfach nicht zwischen diesen zwei Möglichkeiten entscheiden kann wie der Buridansche Esel... Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wette, er/sie hat immer noch keine Ahnung, was hier los ist. Bevor er wütend wird oder sie in Tränen ausbricht (bitte jetzt schon um Entschuldigung für dieses sexistische Klischee), verrate ich die Lösung ... aber nur für diesen Teil ... die Sache mit g muss er/sie dann selbst herauskriegen ... sonst habe ich nicht mal einen kleinen Rest Hoffnung, dass das mit der Mathematik noch was werden kann.
Also, wenn die Identität nicht das Problem löst, dann kann es nur die Inversion sein. Noch genauer: Betrachte
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