Zeige, dass Gerade und Ebene aufeinander senkrecht stehen

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20.11.2012, 17:49	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass Gerade und Ebene aufeinander senkrecht stehen Hallo, ich habe folgende Ebene und Gerade gegeben: $\begin{eqnarray} E=\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \| -2x +3y-z+1=0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix}\| s\in\mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ und Folgende Aufgabe: Man zeige, dass die Gerade g und die Ebene E aufeinander senkrecht stehen. Wie groß ist der Abstand zwischen g und E? Wenn sie senkrecht sind, sind sie doch orthognonal, oder nicht? Wenn ich jetzt das Skalarprodukt von vom Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ der Ebene und dem Richtungsvektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ der Geraden ausrechne kommt aber -24 raus. Was mache ich falsch? Der Abstand muss ja 0 sein, wenn die Gerade auf der Ebene steht, muss ich das noch irgendwie zeigen? Vielen Dank!
20.11.2012, 18:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige das Gerade und Ebene aufeinander senkrecht stehen du denkst etwas verkehrt: wenn ebene und gerade orthogonal sind, sind richtungs- und normalenvektor parallel! mit dem abstand hast du natürlich recht
20.11.2012, 19:06	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn sie parallel sind muss doch $\begin{eqnarray} \vec{n}\cdot\vec{a}=0 \end{eqnarray}$ gelten oder nicht? $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} =-28 \end{eqnarray}$ Das würde ja heißen, dass sie nicht parallel sind und daraus folgt g und E stehen nicht senkrecht aufeinander? Irgendwie sehe ich es gerade einfach nicht
20.11.2012, 19:16	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
und schon wieder verkehrt. wann ist das skalarprodukt null wenn sie parallel sind, sind sie l.a., also hier vielfache voneinander
20.11.2012, 20:03	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, hab mir da was falsches auf die Formelsammlung geschrieben... $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade sind parallel $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ E und g stehen senkrecht aufeinander $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot\lambda \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{2} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor sind linear abhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ parallel $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ E und g stehen senkrecht aufeinander Die Möglichkeiten sollten beide richtig sein, oder? Wie kann ich das denn jetzt noch mathematisch mit dem Abstand begründen? Oder reicht einfach: "Der Abstand ist 0, da E und g senkrecht aufeinander stehen"? Danke!
20.11.2012, 20:18	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, du kannst natürlich auch den schnittpunkt bestimmen
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20.11.2012, 21:22	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Schnittpunkt bestimmen wäre wahrscheinlich mathematisch korrekt? Bin mir unsicher ob so ein Satz ausreicht.
20.11.2012, 21:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke, der satz reicht aus, aber der rest wäre doch eine gute übung
20.11.2012, 21:36	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du Recht, aber für heute reichts. Werde das morgen einfach mal durchrechnen Danke nochmal!

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