Lineare Abbildung

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kicker_nadja Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung
Meine Frage:
Wir betrachten den R- Vektorraum R2. Gibt es eine R lineare Abbildung f:R2 --> R2, die
f((1,1)) = (1,1)
f((2,1)) = (0,1)
f((3,2)) = (2,1)
erfüllt? Begründen Sie ihre Antwort.

Meine Ideen:
Habe mir im Internet Beispiele angeschaut, aber das hat mich alles noch mehr verwirrt. Soll ich hier für alle drei zeigen, dass es eine lineare Abbildung ist, oder die 3 zusammen?
Und was muss ich genau zeigen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Soll ich hier für alle drei zeigen, dass es eine lineare Abbildung ist, oder die 3 zusammen?


Die Aufgabe sagt doch eindeutig gibt es eine Abbildung. Eine lineare Abbildung die die 3 Gleichungen erfüllt.

Die Vektoren (1,1),(2,1) sind linear Unabhängig. Mit den zugehörigen Bildvektoren ist die lineare Abbildung bereits eindeutig festgelegt. Bestimmte also die zugehörige Abbildungsmatrix und schau nach ob das Bild von (3,2) wirklich (2,1) ist. Wenn ja, ist die Antwort auf die Frage ja. Ansonsten ist die Antwort nein.

edit:

Alternative : Stelle den Vektor als (3,2) als Linearkombination von (1,1),(2,1) dar und wende f auf (3,2) an. Auf diesem Weg siehst Du sofort die Lösung.
Zauberfluch Auf diesen Beitrag antworten »

Wir erstellt man denn eine Abbildungmatrix?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du das (noch) nicht weißt, gehe über den Alternativweg von mir. Dieser ist ohnehin "einfacher" Augenzwinkern
kicker_nadja Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mit der Schreibweise f((3,2)) = (2,1) nichts anfangen... Was soll das sein? Ich kann auch Linearkombinationen nur von einen Vektor bilden, aber was wäre hier mein Vektor? (3,2) oder (2.1)?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kicker_nadja
Ich kann mit der Schreibweise f((3,2)) = (2,1) nichts anfangen...

Warum nicht? f ist eine Abbildung. Und was machen Abbildungen? Sie bilden Elemente aus der Urbildmenge auf Elemente der Zielmenge ab.

f((3,2)) = (2,1) bedeutet, dass die Abbildung f den Vektor (3,2) auf den Vektor (2,1) abbildet.
 
 
kicker_nadja Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm irgendwie trotzdem nicht weiter steh total aufm Schlauch sry... Kannst du mir ein Beispiel zu der dieser Aufgabe nennen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Mach doch einfach mal das, was Mazze dir schon geraten hat:

Zitat:
Original von Mazze
Alternative : Stelle den Vektor (3,2) als Linearkombination von (1,1),(2,1) dar und wende f auf (3,2) an. Auf diesem Weg siehst Du sofort die Lösung.


Eine lineare Abbildung muss doch nunmal auch additiv sein. Du kannst ganz leicht überprüfen, ob das hier erfüllt oder verletzt ist.
kicker_nadja Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich
(1,1) +(2,1) = (3,2)
also erfüllt, aber wie wende ich es dann auf (3,2) an? wie ist das gemeint?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kicker_nadja
(1,1) +(2,1) = (3,2)

Jetzt einfach auf beiden Seiten der Gleichung f anwenden. Also auf beiden Seiten das "Bild" ausrechnen. Da muss ja jeweils das gleiche rauskommen.
kicker_nadja Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild können wir noch nicht ausrechnen...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie bringt das so nichts. Wenn dir die Begriffe alle überhaupt nicht klar sind, dann kannst du solche Aufgaben auch nicht bearbeiten.

Du hast die Bilder doch alle in der Aufgabenstellung schon vorgegeben:

Zitat:
f((1,1)) = (1,1)
f((2,1)) = (0,1)
f((3,2)) = (2,1)


Das ist doch nur noch einsetzen. Auf der linken Seite der Gleichung bringst du natürlich die Additivität ins Spiel.
kicker_nadja Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also wenn ich hab:
(1,1) + (2,1) = (3,2)
des is erfüllt, dann auf der anderen seite:
(1,1) + (0,1) = (1,2)
des is a widerspruch, also gibt es keine R lineare Abbildung
stimmt das so?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es keine solche Abbildung gibt, ist richtig.

Mit deiner "Rechnung" kann ich aber nix anfangen. Vielleicht ist das ja auch nur die Ultrakurzfassung deiner Rechnung. Hauptsache, du hast es verstanden.
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