Spur einer Matrix

21.11.2012, 16:14

MadCookieMonster

Spur einer Matrix

Hallo Leute,
hier eine kleine Aufgabe, von der ich eigentlich dachte, sie sei relativ einfach. Dennoch komme ich leider nicht weiter.

Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zwei $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen. Weiterhin seien $\begin{eqnarray*} C=AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D=BA \end{eqnarray*}$

a) Wie lautet die allgemeine Formel für die Hauptdiagonalenelemente $\begin{eqnarray*} c_{ii} \end{eqnarray*}$ der Matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ?

b)Wie lautet die entsprechende Formel für die Hauptdiagonalenelemente $\begin{eqnarray*} d_{ii} \end{eqnarray*}$ der Matrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ?

c) Zeigen Sie unter Verwendung von a) und b), dass $\begin{eqnarray*} Sp(AB) = Sp(BA) \end{eqnarray*}$
(Sp = Spur, sollte aber klar sein).

Mein Ansatz:

a)
$\begin{eqnarray*} c_{ii} = \sum\limits_{s=1}^n a_{is}b_{si} \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} d_{ii} = \sum\limits_{s=1}^n b_{is}a_{si} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

c)
Die Spur ist ja nun die Summe aller Hauptdiagonalenelemente. Also:
$\begin{eqnarray*} Sp(AB) = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n a_{ks}b_{sk} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Sp(BA) = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n b_{ks}a_{sk} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht, wie ich da Gleichheit zeigen soll.
Kann mir irgendwer sagen, ob bis hier hin alles richtig ist und mir vlt. einen kleinen Tipp für den Rest geben?

Danke!
MCM

23.11.2012, 00:46

weisbrot

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RE: Spur einer Matrix
a und b ok.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Sp(AB) = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n a_{ks}b_{sk} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Sp(BA) = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n b_{ks}a_{sk} \end{eqnarray*}$ Nun weiß ich aber nicht, wie ich da Gleichheit zeigen soll.

na alles ko0mmutiert doch, oder? also drauf los kommutieren!
lg

23.11.2012, 01:57

MadCookieMonster

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Okay schon mal danke für die Bestätigung smile

Aber leider weiß ich trotzdem noch nicht so ganz, wie ich weiter machen soll =/
Ich meine, das Kommutativgesetz gilt ja leider nicht bei der Multiplikation von Matrizen...

MCM

23.11.2012, 13:58

weisbrot

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ähm, ja, sagt auch niemand dass du zeigen sollst dass die matrizen kommutieren.
du willst doch die gleichheit dieser zwei summen zeigen, das sind endliche summen reeller zahlen in denen addition und mult. kommutativ sind...
lg

24.11.2012, 11:43

MadCookieMonster

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Hmm okay ich habe mal versucht, das anzuwenden, was ich bei dir verstanden habe.

Nun habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n a_{ks}b_{sk} - b_{ks}a_{sk} = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Wenn ja, wie Zeige ich nun, dass das 0 ist?

MCM

24.11.2012, 13:24

weisbrot

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also wenn etwas nicht verständlich ist weise mich bitte darauf hin!

Zitat:

Nun habe ich folgendes: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n a_{ks}b_{sk} - b_{ks}a_{sk} = 0 \end{eqnarray*}$ Ist das soweit richtig?

also du meinst du hast das zu zeigende dahin umgeformt? nein, das hilft dir nicht viel weiter.
also nochmal, man will zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n a_{ks}b_{sk} = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{s=1}^n b_{ks}a_{sk} \end{eqnarray*}$
lass dich nicht verwirren von den ganzen indizes. auch wenn die laufindizes auf beiden seiten gleich sind haben sie nichts miteinander zu tun, sie sind nur für ihre jeweilige summe zuständig, die kannst du auch immer nach belieben umbenennen, solange die buchstaben innerhalb dieser summe nicht schon durch andere variablen belegt sind:
[latex]\sum_{l=1}^n f_l = \sum_{k=1}^n f_k)/latex]
und um nun die gleichheit der beiden summen von oben zu zeigen musst du nur auf einer seite die summenzeichen vertauschen (was du darfst, da ja addition kommutativ ist - klar warum das deshalb geht?) und ebenso die faktoren der summanden, also ab=ba. dann sieht man schon dass das gleich ist.
lg

24.11.2012, 13:31

MadCookieMonster

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Oh man!

Vielen Dank!
Ja warum ich die Summen vertauschen darf hab ich verstanden. smile

Kein Plan, warum ich das nicht gesehen habe!

Vielen Dank nochmal!

LG
MCM

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