Homöomorphie von Kegeln |
| 22.11.2012, 16:00 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Homöomorphie von Kegeln Ich habe hier folgende zwei Räume gegeben und soll deren Homöomorphie zeigen. Wenn ich das richtig verstehe, dann ist CX ein auf dem Kopf stehender Kegel und A ein "normaler" Kegel. Ich soll nun zeigen, dass die beiden Räume homöomorph sind. Was muss ich dafür genau tun? Einfach eine bijektive Abbildung finden oder muss ich darüber hinaus noch deren Stetigkeit zeigen? Oder gar noch etwas anderes? Mein Ansatz ist nun folgender: Ich wähle mir die Funktion . Die Umkehrfunktion wäre dann sie selbst, . Macht das Sinn? Muss ich die Bijektivität noch explizit zeigen oder reicht es, wenn ich einfach sage, dass sie es ist? Und wie schon oben gefragt: Muss ich noch irgendetwas über Stetigkeit oder dergleichen beweisen bzw. erwähnen? PS: Noch eine kurze Randfrage: Ist ein Zylinder homöomorph zu einer Kugel? Nicht, oder? Ein Zylinder hat oben ja eine Fläche aus mehreren Punkten, während eine Kugel oben an ja in einem Punkt zusammenläuft, oder? |
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| 22.11.2012, 17:51 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Homöomorphie von Kegeln Hallo co0kie, "Eigentlich" ist das alles klar, aber da euch so etwas als Aufgabe gestellt wird, musst du die Eigenschaften natürlich nachweisen. Bijektivität folgt in der Tat direkt aus der Definition des von dir angegebenen Homöos, du musst allerdings zeigen, dass der auch wohldefiniert ist (d.h. nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängig) - und wichtig: Stetigkeit in beide Richtungen. Das geht wohl am einfachsten mit der universellen Eigenschaft der Quotiententopologie. Stetigkeit ist sehr, sehr wichtig! Zu deiner Randfrage: Zylinder/Kugel voll oder leer? Voll und offen: sind homöomorph Leer: Zylinder ist homotop zum Kreis, Kugel nicht - also nicht homöomorph Voll und abgeschlossen: da bin ich mir nicht ganz sicher, aber ich würde sagen nicht homöomorph mit folgender Begrüdung: nehmen wir an, es gibt so einen homöomorphismus, dann muss jede "Achse" in der Kugel (soll bedeuten ein Intervall [x,-x]), auf einen Pfad abgebildet werden, der im Inneren des Zylinders liegt, da der Homöo. eingeschränkt auf die Kugel ohne so ein Intervall immer noch ein Homöo sein muss, insbesondere Homotopieerhaltend. Für "leer" könnte man vllt auch noch so argumentieren, dass der Zylinder an der "Kante" nicht ähnlich zum R^n ist, die Kugel aber überall lokal ähnlich zum R^n. lg |
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| 22.11.2012, 18:37 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Homöomorphie von Kegeln Danke für deine Antwort! Bezüglich der Randfrage: Beide sollen Leer sein, also quasi Zylindermantel (ohne Deckflächen) und Kugeloberfläche. Aber liegt es nun tatsächlich darain, dass es beim Zylinder oben quasi einen Kreis mit unendlich vielen Punkten gibt und bei der Kugel aber nur einen einzigen Punkt, in dem alles "zusammenläuft"? edit von sulo: Vollzitat entfernt. |
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| 22.11.2012, 19:16 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Homöomorphie von Kegeln
So, ich war gerade etwas verwirrt: das erste "leer" ist die Begründung, warum der Zylinder ohne Deckflächen nicht homöomorph zur Kugel ist, das zweite wäre eine Begründung für den leeren Zylinder mit Deckflächen. Und deine Begründung kann ich irgendwie nicht verstehen. Warum gibt es bei der Kugel "einen Punkt", in dem alles "zusammenläuft"? (Was soll zusammenlaufen überhaupt heißen, die Kugel bewegt sich ja nicht). Ganz floppy könnte man aber schon sagen, dass es daran liegt, dass die Kugel "irgendwie" stärker zusammenhängt als der Zylinder, weil der Zylinder halt ein Loch hat, und die Kugel nicht. Aber das sauber zu begründen, lernst du erst später. 
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| 22.11.2012, 20:25 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Homöomorphie von Kegeln
Angenommen, ich nehme so einen Zylindermantel und knautsche die offenen Ringe oben und unten jeweils auf einen Punkt in deren Mitte zusammen. Würdest du mir dann zustimmen, dass dadurch eine Kugel entsteht? Das meine ich mit "in einem Punkt zusammenlaufen". Also wenn man quasi oben einen Querschnitt durch den Zylinder macht, erhält man einen Kreis mit unendlich vielen Punkten und wenn dasselbe bei der Kugel täte, erhielte man nur einen Punkt. Das ist jedenfalls meine intuitive Begründung dafür, dass keine Homöomorphie vorliegt. Denn wenn ich den oberen Rand des Zylinders irgendwie auf die Kugel abbilden will, kann ich das nur, indem ich unendlich viele Punkte auf den einen oberen Scheitelpunkt der Kugel abbilde... Ist das halbwegs verständlich? :/ Doofer Topologiekram! Und ich muss mir den Blödsinn auch noch in einem Mix aus Katalan, Spanisch und Englisch erschließen! :P |
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| 22.11.2012, 21:14 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Homöomorphie von Kegeln
Das ist richtig.
Das ist meiner Meinung nach eine gefährliche Intuition. Es geht zwar in die richtige Richtung... aber was wäre zum Beispiel, wenn man jetzt vom oberen und vom unteren "Rand" des Zylinders alle Punkte bis auf jeweils einen entfernt. Gibt es dann einen Homöomorphismus? Edit: Oder alternativ: klebe an der Kugel "oben" und "unten" jeweils einen Kreis dran, jetzt hast du da ja jeweils unendlich viele Punkte. Geht das dann? |
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| 22.11.2012, 21:31 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So suggestiv wie du fragst, scheint das nicht zu gehen. Aber genau da ist ja mein Problem, ich wüsste nicht, was dagegen spricht. Wenn ich mir das Ganze nun in Polar- bzw. Kreiskoordinaten vorstelle, kann ich ja ohne Probleme jetzt den oberen Rand des Zylinders mit dem angeklebten Kreis identifizieren. |
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| 22.11.2012, 21:41 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Entscheidende ist, dass dabei eben die Stetigkeit verloren geht (intuitiv: wenn du von einer Kugel auf den Zylinder kommen willst (auch mit nur einem Punkt am Rand), dann musst du "zerreißen" - zerreißen ist aber nicht stetig) - eine bloße bijektive Abbildung zwischen den beiden kann man übrigens finden, da beide als Mengen aufgefasst gleiche Mächtigkeit haben. Als Anschaunung sollte das "böse Zerreißen" in dem Fall ganz gut herhalten; um wirklich zu beweisen, dass kein Homöomorphismus zwischen den beiden Räumen existieren kann, fällt mir aber gerade nichts ein, was nicht noch etwas mehr an Theorie voraussetzt (also nichts ohne Homotopie). Dafür, dass die Kugel mit zwei angeklebten Kreisen nicht homöomorph zum Zylinder sein kann, gibt es dann aber einen etwas elementareren Beweis (vorausgesetzt, du weißt, was Zusammenhang ist) - allerdings sehe ich hier leider kein so anschauliches Argument. |
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| 22.11.2012, 22:18 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, auch wenn ich das noch nicht zu 100% kapiere, klingt es zumindest recht sinnvoll. Zusammenhang von Räumen ist mir noch eher fremd, deshalb schieb ich das Problem mal auf später auf. Aber auf jeden Fall schon mal Danke für deine Hilfe bis hierhin! 
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| 24.11.2012, 16:10 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nochmal ich mit weiteren Homöomorphie-Problemen! 
Und zwar sollen wir zeigen, dass und das anschließend für "generalisieren". Wenn ich das jetzt richtig sehe, dann ist das eine der Mantel eines Doppelkegels und das andere eine Kugeloberfläche, richtig? Meine Idee ist nun, einen Punkt des Doppelkegels zu nehmen, die y- und z-Koordinate festzuhalten und die x-Koordinate so abzubilden, dass eine Kugel entsteht. Das sollte die Funktion leisten, oder? Und die "Generalisierung" der Geschichte wäre dann, dass man n+1 Koordinaten hat und folgende Abbildung nimmt: Klappt das so? Ich habe per Google eine Lösung im Buch "Topologie" von Erich Ossa gefunden:  http://img651.imageshack.us/img651/5117/unbenanntxib.pngAllerdings verstehe ich da nicht so recht, wie man darauf kommt bzw. was Sinus und Cosinus dort genau "tun". Kann das vielleicht jemand erklären? |
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