QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen

22.11.2012, 20:45

Kiwiatmb

QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen

Ich verzweifle ein wenig an einer wohl im Prinzip recht einfachen Aufgabe.

Zitat:

Gegeben: Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}3 &-3 &1 \\ 0 &1 &5 \\ 0 &0 &2 \\ 0 &1& 0 \\ 4 &-4 &-7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Gesucht: QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen. Q muss nicht explizit angegeben werden.

Ich meine eigentlich, das jetzt nach guten 3 Seiten Rechnerei und diversen Fehlern verstanden zu haben. Jetzt mag das aber unverschämterweise immer noch nicht klappen und ich finde den Fehler nicht.

Ich verstehe, wenn man nicht besonders große Lust hat, das alles nachzurechnen, ist ziemlich eklig. Vielleicht kann mir jemand sagen, ob ich das vom Prinzip her richtig mache.
Sollte mein Weg richtig sein und jemandem fällt ein Rechenfehler auf, darf er ihn aber gerne verbessern !

Also mein bisheriger Versuch:

Schritt 1: Nullen von $\begin{eqnarray*} a_{24} \end{eqnarray*}$

Bestimme dazu $\begin{eqnarray*} G_{24} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a_{22}^2+a_{24}^2}=\sqrt{2}~\Rightarrow~c=\frac{a_{22}}{r}=\frac{1}{\sqrt{2}}, ~s=\frac{a_{24}}{r}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow G_{24}=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&c&0&s&0\\0&0&1&0&0\\0&-s&0&c&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&\sqrt{2}^{~-1}&0&\sqrt{2}^{~-1}&0\\0&0&1&0&0\\0&-\sqrt{2}^{~-1}&0&\sqrt{2}^{~-1}&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Seien die Spalten von A mit $\begin{eqnarray*} a^1, a^2, a^3 \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
$\begin{eqnarray*} G_{24}~a^1=a^1 ~~\checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{24}~a^2=\begin{pmatrix}-3 \\ \sqrt{2} \\0 \\ 0\\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ r \\0 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} ~~\checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{24}~a^3=\begin{pmatrix}1 \\ 2.5 \sqrt{2} \\ 2 \\ -2.5 \sqrt{2}\\ -7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt setzt sich meine Matrix A also aus diesen 3 Vektoren zusammen. (Ab jetzt a^1 := erster der obigen Vektoren usw..)

Schritt 2: Nullen von $\begin{eqnarray*} a_{34}=-2.5\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Bestimme dazu $\begin{eqnarray*} G_{34} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a_{33}^2+a_{34}^2}=\sqrt{\frac{33}{2}}~\Rightarrow~ c=\frac{a_{33}}{r}=\frac{4}{33}\sqrt{\frac{33}{2}},~s=\frac{a_{34}}{r}=-\frac{5}{33}\sqrt{33} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~G_{34}=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&c&s&0\\0&0&-s&c&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{34}~a^1=a^1 ~~\checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{34}~a^2=a^2 ~~\checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{34}~a^3=\begin{pmatrix}1 \\ 2.5 \sqrt{2} \\ \frac{16\sqrt{\frac{33}{2}}+75\sqrt{11}}{66} \\ 0\\ -7\end{pmatrix}\begin{matrix}\checkmark \\ \checkmark \\ X \\ \checkmark ! \\ \checkmark\end{matrix}~\underbrace{\neq}_{\text{Müsste nach Vorlesung "=" sein!}}~\begin{pmatrix}1 \\ 2.5 \sqrt{2} \\ r \\ 0\\ -7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank jetzt schonmal !

Grüße,
~

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