Elementarmatritzen

22.11.2012, 21:40

B.A.

Elementarmatritzen

Servus,

Die Aufgabe:

[attach]26841[/attach]

Vielleicht ganz sinnvoll unsere Definition der Elementarmatrix Typ 1:

[attach]26842[/attach]

Meine Idee:

Zu zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} E^I (i,j,\lambda) \cdot E^I (i,j,\mu)=E^I (i,j,\lambda+ \mu) \end{eqnarray*}$

Beweis der Behauptung:

$\begin{eqnarray*} E^I (i,j,\lambda) \cdot E^I (i,j,\mu) = (E_m+\lambda \cdot e_{i,j}) (E_m+\mu \cdot e_{i,j}) = E_m + \lambda \cdot e_{i,j}+ \mu \cdot e_{i,j} + \lambda \cdot e_{i,j} \cdot \mu \cdot e_{i,j} = E_m + (\lambda + \mu) \cdot e_{i,j}+ \lambda \cdot e_{i,j} \cdot \mu \cdot e_{i,j} \end{eqnarray*}$

Ich kann schon mal erkennen: im letzten Schritt sind die ersten beiden Summanden schonmal zusammen $\begin{eqnarray*} E^I (i,j,\lambda+ \mu) \end{eqnarray*}$

Der letzte Summand muss irgendwie weg und intuitiv würde ich sagen der müsste Null sein... Nur muss ich das ja irgendwie begründen.

Weiterhin ist mir aufgefallen dass ich noch gar nicht die Definiton bzw den Ausdruck $\begin{eqnarray*} GL_m(K) \end{eqnarray*}$ verwendet habe vielleicht klappt es ja irgendwie damit?

Wäre nett wenn mir einer ein wenig helfen würde Augenzwinkern

23.11.2012, 10:45

B.A.

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keiner einen Tipp? unglücklich

Ich behaupte nicht dass mein Weg der richtige ist, gibt es vielleicht eine einfachere Lösung?

PS: Auf diese Aufgabe gibt es verhältnismäßig wenig Punkte d.h. der Beweis sollte maximal 2-3 Zeilen sein.

LG

23.11.2012, 12:09

RavenOnJ

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du könntest ja die Elemente deiner Matrix $\begin{align*} e_{ij} \end{align*}$ schreiben als:

$\begin{eqnarray*} (e_{ij} )_{kl} = \delta_{ki}\delta_{lj} \end{eqnarray*}$

mit dem Kroneckersymbol $\begin{align*} \delta_{xy} \end{align*}$ , d.h. nur für k=i und l=j steht eine 1 als Eintrag, ansonsten 0. Dann die Multiplikation für ein allgemeines Element der Produktmatrix durchführen. Da wirst du dann drauf kommen, dass das immer 0 ergibt.

$\begin{eqnarray*} (e_{ij} \cdot e_{ij})_{mn} = ? \end{eqnarray*}$

Gruß
Peter

23.11.2012, 12:52

B.A.

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Zitat:

Original von RavenOnJ
du könntest ja die Elemente deiner Matrix $\begin{align*} e_{ij} \end{align*}$ schreiben als:

$\begin{eqnarray*} (e_{ij} )_{kl} = \delta_{ki}\delta_{lj} \end{eqnarray*}$

mit dem Kroneckersymbol $\begin{align*} \delta_{xy} \end{align*}$ , d.h. nur für k=i und l=j steht eine 1 als Eintrag, ansonsten 0. Dann die Multiplikation für ein allgemeines Element der Produktmatrix durchführen. Da wirst du dann drauf kommen, dass das immer 0 ergibt.

$\begin{eqnarray*} (e_{ij} \cdot e_{ij})_{mn} = ? \end{eqnarray*}$

Gruß
Peter

Hallo Peter,

Leider ist uns dieser Ausdruck nicht bekannt... glaube ich. Das Wort Kroneckersymbol habe ich zumindest noch nicht gehört. Was hälst du übrigens von dieser Idee, oder ist dieser Beweis kein richtiger, weil ich es für m=3 und nicht allgemein gezeigt habe?

__

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \mu \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + \mu \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lambda und mü kann ich ja bel. einfügen und das ganze gilt ja eigenltich auch für alle quadratische matrizen und nicht nur für m=3

Grüßle

23.11.2012, 12:54

B.A.

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Zitat:

Original von B.A.

Zitat:

Hallo Peter,

Leider ist uns dieser Ausdruck nicht bekannt... glaube ich. Das Wort Kroneckersymbol habe ich zumindest noch nicht gehört. Was hälst du übrigens von dieser Idee, oder ist dieser Beweis kein richtiger, weil ich es für m=3 und nicht allgemein gezeigt habe?

__

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \mu \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \lambda + \mu \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
__
lambda und mü kann ich ja bel. einfügen und das ganze gilt ja eigenltich auch für alle quadratische matrizen und nicht nur für m=3

Grüßle

sry ist verrutscht

23.11.2012, 13:16

RavenOnJ

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Natürlich muss du das algemein zeigen. Der Weg, den du in deinem 1. Post beschritten hast, war doch gut, du bist ihn nur nicht zu Ende gegangen.

Zum Kronecker-Delta: Schau mal bei wikipedia, dort ist es erklärt. Das etwas in eurer Vorlesung noch nicht dran kam, bedeutet nicht, dass du es nicht benutzen kannst - solange du weißt, worum es sich dabei handelt.

Man kann also einen allgemeinen Eintrag in der Elementarmatrix schreiben als

$\begin{eqnarray*} (e_{ij})_{rs} = \delta_{ri}\delta_{sj} \end{eqnarray*}$

Das pn-Element der Produktmatrix ist dann

$\begin{eqnarray*} (e_{ij}\cdot e_{ij})_{pn} = \sum_{s=1}^m (e_{ij})_{ps}(e_{ij})_{sn} = \sum_{s=1}^m \delta_{pi}\delta_{sj}\delta_{si}\delta_{nj} \end{eqnarray*}$

Da über i,j,p und n nicht variert wird, ist diese Summe auf alle Fälle 0, wenn $\begin{align*} p\neq i \lor n\neq j \end{align*}$ . Es reicht also den Fall zu betrachten, dass $\begin{align*} p= i \land n= j \end{align*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} (e_{ij}\cdot e_{ij})_{ij} = \sum_{s=1}^m (e_{ij})_{is}(e_{ij})_{sj} = \sum_{s=1}^m \delta_{ii}\delta_{sj}\delta_{si}\delta_{jj} = \sum_{s=1}^m \delta_{sj}\delta_{si} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, ab hier kannst du dann selber weitermachen.

Gruß
Peter

23.11.2012, 14:24

B.A.

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Okay, dann versuch ichs mal mit dem Kroneckerdelta. Angeblich soll man aber den Beweis in 2-3 Zeilen feritg geschrieben haben, es verwirrt mich, dass es offentsichtlich doch nicht so einfach ist. Meine Kommiltonen haben es mit der Matrixschreibweiese (mein 2ter Ansatz) versucht und dann einfach "analog" für allgemeines m geschrieben.

Wie auch immer... Wir betrachten den Fall $\begin{align*} p= i \land n= j \end{align*}$ .

Ich glaube aber hier hast du dich verschrieben oder?

$\begin{eqnarray*} (e_{ij}\cdot e_{ij})_{ij} = \sum_{s=1}^m (e_{ij})_{is}(e_{ij})_{sj} = \sum_{s=1}^m \delta_{ii}\delta_{sj}\delta_{si}\delta_{jj} = \sum_{s=1}^m \delta_{sj}\delta_{si} \end{eqnarray*}$

richtig wären diese Indizes:

$\begin{eqnarray*} (e_{ij}\cdot e_{ij})_{pn} = \sum_{s=1}^m (e_{ij})_{is}(e_{ij})_{sj} = \sum_{s=1}^m \delta_{ii}\delta_{sj}\delta_{si}\delta_{jj} = \sum_{s=1}^m \delta_{sj}\delta_{si} \end{eqnarray*}$

Auf Wiki stand dass das Kroneckerdelta 0 ist, wenn die Indizes ungleich sind... Ich weiß aber nach Aufgabenstellung gilt i ungleich j. Ich hab mir den Wiki artikel durchgelesen aber ich blick noch net so wirklich durch. Sollte ich eigentlich nicht schon aufhören dürfen? Es ist ja im Prinzip nur der Fall i ungleich j zu betrachten...

23.11.2012, 14:55

RavenOnJ

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Zitat:

Original von B.A.

Ich glaube aber hier hast du dich verschrieben oder?

$\begin{eqnarray*} (e_{ij}\cdot e_{ij})_{ij} = \sum_{s=1}^m (e_{ij})_{is}(e_{ij})_{sj} = \sum_{s=1}^m \delta_{ii}\delta_{sj}\delta_{si}\delta_{jj} = \sum_{s=1}^m \delta_{sj}\delta_{si} \end{eqnarray*}$

wieso soll ich mich verschrieben haben? Genau so sollte es da stehen. Ich betrachte nur noch das ij-Element der Produktmatrix, da ich gezeigt habe, dass alle anderen 0 sind.

23.11.2012, 15:15

B.A.

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oh ich hab totalen müll geschrieben.... natürlich war dein beitrag richtig. ich denke nochmal nach und meld mich wieder.

23.11.2012, 16:00

B.A.

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Hallo ich melde mich nochmal. Mit einer meiner Meinung nach unzufriedenstellenden Überlegungen...

Also ich habe die Summe mal ausgeschrieben und die Summanden betrachtet. Da bin ich jetzt etwas zu faul dazu alles aufzuschreiben ich schreibe mal den ersten Summanden der Summe hin. Der lautet:

$\begin{eqnarray*} \delta_{1j}\cdot \delta_{1i} \end{eqnarray*}$

Ich könnte jetzt wie folgt argumentieren und das dann analog für alle Summanden gelten lassen:

Dieser Summand ist Null g.d.w. gilt

$\begin{eqnarray*} 1 \neq j \vee 1 \neq i \end{eqnarray*}$

würden wir nämlich annehmen dass

$\begin{eqnarray*} 1=i=j \end{eqnarray*}$

wäre dies ein Widerspruch zu der in der Aufgabenstellung gegeben Bedingung dass gilt

$\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$

Analog das Ganze für die restlichen Summanden der Summe.

Somit wären alle Summanden 0, und die Summe offensichtlich auch.

verwirrt

23.11.2012, 16:01

B.A.

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Hallo ich melde mich nochmal. Mit einer meiner Meinung nach unzufriedenstellenden Überlegungen...

Also ich habe die Summe mal ausgeschrieben und die Summanden betrachtet. Da bin ich jetzt etwas zu faul dazu alles aufzuschreiben ich schreibe mal den ersten Summanden der Summe hin. Der lautet:

$\begin{eqnarray*} \delta_{1j}\cdot \delta_{1i} \end{eqnarray*}$

Ich könnte jetzt wie folgt argumentieren und das dann analog für alle Summanden gelten lassen:

Dieser Summand ist Null g.d.w. gilt (ich vergaß zu erwähnen dass hier die Def. des Kroneckerdeltas hab einfließen lassen)

$\begin{eqnarray*} 1 \neq j \vee 1 \neq i \end{eqnarray*}$

würden wir nämlich annehmen dass

$\begin{eqnarray*} 1=i=j \end{eqnarray*}$

wäre dies ein Widerspruch zu der in der Aufgabenstellung gegeben Bedingung dass gilt

$\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$

Analog das Ganze für die restlichen Summanden der Summe.

Somit wären alle Summanden 0, und die Summe offensichtlich auch.

verwirrt

24.11.2012, 10:15

B.A.

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war das falsch oder viel zu verwirrend? ich kanns nochmal probieren, wenn es nicht stimmt... bitte ein feedback

24.11.2012, 12:21

RavenOnJ

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ist OK. Damit hast du gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ auf die Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_m(K) \end{eqnarray*}$ ist.

24.11.2012, 12:49

B.A.

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Danke Raven, das hat mir sehr geholfen.
LG

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