Givens Transformation |
| 16.07.2004, 00:28 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Givens Transformation ich hab mal eine prinzipielle frage zur givenstransformation: wenn ich ein gleichungssystem der form Ax=b (A regulär) gegeben hab, dann transformiere ich A in dem ich von links immer diese G** ranmultiplizier. d.h. um A in eine untere dreiecks form zu bringen führe ich das wie folgt aus: G**...G**A warum kann ich nicht eigentlich b mit der selben folge an givens-transformations-matrizen multiplizieren? (oder ist das mathematisch vielleicht sogar korrekt?) das würde jedenfallsb numerisch stabil bleiben und ich hab dann ein dreiecks-system, was sie ja einfach lösen läßt. |
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| 16.07.2004, 16:01 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Givens Transformation für die interessierten: ich hab mir selber nochmal gedanken gemacht und es an einigen beipielen ausprobiert, es ist tatsächlich möglich den ergebnisvektor gleich mit den einzelnen givensmatrzien mit zu transformieren (genauso wie es bei der householder transformation und der LU zerlegung auch möglich ist). im weitestens sinne sind das auch nichts anderes als gaußumformungen. warum der numeriker dann aber das gleichungssystem lieber über die QR methode und nicht direkt löst ist mir nicht ganz klar.. für weitere erklärungen währe ich dankbar |
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| 16.07.2004, 17:03 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die QR-Methode ist einfach numerisch stabil(er) als Gauss. Und eigentlich sind Q und R doch beide invertierbar und daher ist die Loesung des Gleichungssystems R^(-1)Q^(-1)b. |
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| 16.07.2004, 20:24 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja Q und R sind invertierbar (Q ist sogar orthogonal und für R braucht man das nicht), aber es geht ja nicht um gauss, es geht ja schon darum, dass ich eine givenstransformation vornehme, d.h. dann: G** x .... x G** x A = R Q = (G** x ... x G**)T so gilt dann QRx=b dann löse ich Qz=b (einfach da dreieckssystem) und dann Rx=z (auch dreiecks system) ------------- aber wenn ich das system jetzt anders transfomiere: (G** x ... x G**) x AX = (G** x ... x G**)b (ist in dreieckssystem) wo kommt dann numerisch instabilität rein? ich mache doch das selbe wie wenn ich das system in QR form bringen will, außer, dass ich b noch mit den givensmatrizen multipliziere?! und schneller ist der weg auch, weil man dann nur ein dreieckssystem lösen muß. (das große X sei ein vektor und die kleine xe multiplikationszeichen) |
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| 16.07.2004, 20:34 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo flixgott Q ist orthonormal sprich: d.h.Qz=b wird gelöst Also genau das was Du hingeschrieben hast. gruß mathemaduenn Edit: Das Q Dreiecksform hat würde ich bezweifeln. |
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| 16.07.2004, 20:44 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hilfe, ich glaube ich werde nicht verstanden... die givens tranformation ist doch ein weg zur QR methode. da will ich aber gar nicht hin. ich will behaupten, dass, wenn man mittels givvenstransformation A in dreiecksform bringt und die selbe transformation an b vornimmt, dass man dann ein gleichungssystem in dreiecks form hat und es somit 'leicht' lösen kann. das wiederum erscheint mir als einfacher und schneller als die QR methode (und numerisch ist es genauso stabil) |
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| 16.07.2004, 20:57 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo flixgott Was ich sagen wollte:
genau dann wenn
Ich dachte das erstere sollte die Beschreibung der Givenstransformation sein. Vielleicht habe ich da deinen Beitrag nicht richtig verstanden oder mein Beitrag war nicht aussagekräftig genug. gruß mathemaduenn |
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| 16.07.2004, 21:01 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okok, aber meine variante (das zweite zitat) ist doch nun auch möglich und vorallem einfacher.. irgendeinen haken muß die sache doch haben?! |
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| 16.07.2004, 21:10 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo flixgott Leider erinnere ich mich nicht mehr so genau an die Givens Transformation. Ich dachte die G** wären Matrizen gewesen die zu multiplizierren sind. von daher scheint mir deine Methode vom Rechenaufwand eher schlecht zu sein. Warum sollte man 2 mal x - Matrizen multiplizieren wenn 1 mal ausreicht. Vielleicht irre ich hier aber auch dazu müßtest Du genaueres schreiben wie die G** aussehen. gruß mathemaduenn |
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| 16.07.2004, 21:23 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die G** sind die givensmatrizen, wobei ** für l und k steht, mit der l. zeile mache ich die k. zu null.. die zweite multipilkation ist ja aber nur mit einem verktor und das erscheint mit leichter als zwei dreiecks systeme zu lösen (bin halt mathematiker und kein informatiker) |
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| 16.07.2004, 21:55 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo flixgott Kan schon sein das man das praktisch so löst so genau hab ich mir den Aufwand nicht durchdacht. Dein Argument mit dem Vektor scheint mir unlogisch. Berechnet man die Matrix Q nicht ohnehin um A zu transformieren. oder wäre das zuviel Aufwand und man kommt günstiger immer A mit einer Matrix zu multiplizieren?? Im Übrigen benötigt Dreieckssysteme lösen imho keinen allzu großen Aufwand. Noch 1 Frage hätte ich 1. Hat Q wirklich Dreiecksform? gruß mathemaduenn |
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| 16.07.2004, 22:23 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Q hat keine dreiecksform, nimm mal den trivialen fall, dass du nur ein G** verwendest, da G in keinem fall dreiecksform hat, hat auch G^(-1)=GT keine. (was ist dann aber an dem QR verfahren noch günstig, dann ist doch Qz=b wieder ein volles gleichungssystem - oder überseh ich jetzt was gänzlich) aber matrix mal verktor heißt doch nur eine spalte mit n komponenten zu berechnen und, während matrix mal matrix n spalten zu n komponenten sind. aber der zeit aufwand ist bei QR wirklich besser.. Q berechnet man aber nicht bei 'meinem' weg nicht, weil das ja dann erst die ganze G-schlange invertiert (bzw. transformiert) ist. wenn es nur drum geht a zu transormieren, dann berechnest du nur R. naja ich geh jetzt pennen und hoffe meine numerikklausur morgen einigermasen gebacken zu bekommen. schönen abend noch! |
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| 16.07.2004, 22:27 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo flixgott nochmal z=Q^T*b Viel Erfolg bei deiner Klausur! mathemaduenn |
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| 16.07.2004, 22:31 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke.. aber hatten wir nicht gerade rausgestellt, dass Q keine dreiecksmatrix ist?! was hat das dann für einen sinn? |
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| 16.07.2004, 22:36 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok.. ich hab gerade selber den falschen gedanken meines letzten posts gefunden.. nehm ich also (bis auf das 'danke') zurück, Q is ja orthogonal |
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| 16.07.2004, 22:37 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo orthonormal braucht man da. gruß mathemaduenn Edit: Beitrag komplett neu |
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| 16.07.2004, 22:47 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das board hier begeistert mich!! |
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