Ring einer Potenzmenge (Beweis)

23.11.2012, 20:22

charlydelta

Ring einer Potenzmenge (Beweis)

Hey MatheBoard smile

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe und bin mir bei einer Sache nicht ganz sicher. Da ich nicht weiß, ob ich irgendwo einen Rechen- oder Denkfehler gemacht habe, poste ich noch meinen gesamten Rechenweg dazu. Meine Frage bezieht sich jedoch Hauptsächlich auf die Aufgabe b).

Aber hier erstmal die Aufgabenstellung:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$ ihre Potenzmenge. Für $\begin{eqnarray*} A, B \in \mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$ definieren wir die
symmetrische Differenz $\begin{eqnarray*} A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \end{eqnarray*}$
a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta, \cap) \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring [Mit Eins] ist. Die Assoziativität der
Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ dürfen Sie dabei ohne Beweis annehmen.
b) Für welche Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta, \cap) \end{eqnarray*}$ ein Körper?

Meine Vorgehensweise ist folgende:

a)

Es gilt folgendes zu zeigen:

1. $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe
1.1. $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist assoziativ
1.2. Es gibt ein neutrales Element bezüglich $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$
1.3. Es gibt ein inverses Element bezüglich $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$
1.4. Es gilt Kommutativität bezüglich $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist assoziativ
3. Es gibt ein neutrales Element bezüglich $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$
4. Es gelten Distributivgesetze
5. $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist kommutativ

Behauptung 1: $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe
Beweise zu 1.1., 1.2., 1.3. und 1.4.:

Zu 1.1.: $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist nach Aufgabenstellung assoziativ $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

Zu 1.2.: Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \exists 0_{\mathfrak{P}(M)} \in \mathfrak{P}(M): \forall X \in \mathfrak{P}(M): X \Delta 0_{\mathfrak{P}(M)} = 0_{\mathfrak{P}(M)} \Delta X = X \end{eqnarray*}$ .
Sei nun $\begin{eqnarray*} 0_{\mathfrak{P}(M)} = \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \Delta \emptyset = (X \cup \emptyset ) \setminus (X \cap \emptyset ) = (X \cup \emptyset ) \setminus \emptyset = X=( \emptyset \cup X) \setminus \emptyset = ( \emptyset \cup X) \setminus (\emptyset \cap X) = \emptyset \Delta X \end{eqnarray*}$
Somit gilt: $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}(M) \ni 0_{\mathfrak{P}(M)} = \emptyset \end{eqnarray*}$ ist neutrales Element von $\begin{eqnarray*} \Delta \square \end{eqnarray*}$

Zu 1.3.: Zu zeigen: Es gibt ein inverses Element bezüglich $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} X \in \mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \Delta X = (X \cup X) \setminus (X \cap X) = X \setminus X = \emptyset = 0_{\mathfrak{P}(M)} \end{eqnarray*}$
Somit ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ selbstinvers. $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

Zu 1.4.: Zu zeigen: Es gilt Kommutativität
Sei $\begin{eqnarray*} X, Y \in \mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \Delta Y = \underbrace {X \cup Y}_{\stackrel{\mathrm{*)}}= Y \cup X} \setminus \underbrace {X \cap Y}_{\stackrel{\mathrm{*)}}= Y \cap X} = (Y \cup X) \setminus (Y \cap X) =Y \Delta X \end{eqnarray*}$
*) Nach Definition von Vereinigungs- und Schnittmenge
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Somit ist $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ kommutativ $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Nach 1.1., 1.2., 1.3. und 1.4. ist $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Behauptung 1

Behauptung 2: $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist assoziativ
Beweis: $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist nach Definition der Schnittmenge assoziativ $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Behauptung 2

Behauptung 3: Es gibt ein neutrales Element bezüglich $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} \exists 1_{\mathfrak{P}(M)} \in \mathfrak{P}(M) : \forall X \in \mathfrak{P}(M): 1_{\mathfrak{P}(M)} \cap X = X \cap 1_{\mathfrak{P}(M)} = X \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} 1_{\mathfrak{P}(M)} = X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \cap X = X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Das Einselement eines Elements ist das Element selbst $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Behauptung 3

Behauptung 4: Es gelten Distributivgesetze
Beweis: $\begin{eqnarray*} \forall X, Y, Z \in \mathfrak{P}(M): \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X \cap (Y \Delta Z) = X \cap (( Y \cup Z) \setminus (Y \cap Z)) = ((X \cap Y) \cup (X \cap Z)) \setminus ((X \cap Y) \cap ( X \cap Z)) = (X \cap Y) \Delta (X \cap Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \land (Y \Delta Z) \cap X = (( Y \cup Z) \setminus (Y \cap Z)) \cap X = ((Y \cap X) \cup (Z \cap X)) \setminus ((Y \cap X) \cap (Z \cap X)) = (Y \cap X) \Delta (Z \cap X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Distributivgesetze gelten $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Behauptung 4

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Nach 1., 2., 3. und 4. ist $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta, \cap) \end{eqnarray*}$ ein Ring $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

Behauptung 5: $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist kommutativ
Beweis: $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist nach Definition kommutativ
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Behauptung 5

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Damit ist $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta, \cap) \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring $\begin{eqnarray*} \square \end{eqnarray*}$

b)

Und hier liegt mein Problem... Damit $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta, \cap) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist muss zusätzlich gelten:

$\begin{eqnarray*} 0_{\mathfrak{P}(M)} \neq 1_{\mathfrak{P}(M)} \end{eqnarray*}$ , was ja erfüllt ist, und:
Jedes von Null verschiedene Element muss invertierbar sein, was ja auch gilt...
Aber so einfach kann die Aufgabe doch nicht sein, oder?

23.11.2012, 21:37

lgrizu

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RE: Ring einer Potenzmenge (Beweis)
Dass $\begin{eqnarray*} \left( P(M), \Delta \right) \end{eqnarray*}$ eina abelsche Gruppe ist ist so trivial, dass ich mich da nicht großartig drüber geschaut habe, der Thread ist auch reichlich lang, das hole ich noch nach.

Zitat:

Original von charlydelta

Behauptung 3: Es gibt ein neutrales Element bezüglich $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} \exists 1_{\mathfrak{P}(M)} \in \mathfrak{P}(M) : \forall X \in \mathfrak{P}(M): 1_{\mathfrak{P}(M)} \cap X = X \cap 1_{\mathfrak{P}(M)} = X \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} 1_{\mathfrak{P}(M)} = X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X \cap X = X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Das Einselement eines Elements ist das Element selbst

Soso, bei dir hat jedes Element sein eigenes 1- Element? das ist total daneben, mach dir einmal Gedanken darüber, was denn wirklich das 1-element sein könnte.

Zitat:

Original von charlydelta

$\begin{eqnarray*} 0_{\mathfrak{P}(M)} \neq 1_{\mathfrak{P}(M)} \end{eqnarray*}$ , was ja erfüllt ist, und:
Jedes von Null verschiedene Element muss invertierbar sein, was ja auch gilt...
Aber so einfach kann die Aufgabe doch nicht sein, oder?

Ja, ist das so, das jedes vom 0 verschiedene Element ein Inverses hat?
Wenn du wirklich herausfimden solltest, dass das stimmt, dann hast du die Theorie der booleschen Algebren neu entwickelt, also hör auf zu studieren und schreib ne Arbeit drüber Augenzwinkern

Nein, jetzt mal ernsthaft: Mit Sicherheit ist nicht jeder so definierte Potenzmengenring ein Körper.

24.11.2012, 14:13

charlydelta

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Hallo lgrizu,

danke für deine Antwort.

Wieso ist das trivial? Entschuldigung falls ich das nicht sehe, und eigentlich ist es für die Aufgabe auch weniger relevant, aber interessieren würde es mich trotzdem smile

Das mit dem neutralen Element hat mich auch verwirrt, aber wenn man mal in der Definition nachschaut: http://www.mathepedia.de/Durchschnitt.aspx
Da stehts genau so. Das neutrale Element ist das Element selbst... Was bleibt sonst übrig? Die leere Menge kanns nicht sein (was dann die Aufgabe b) erschweren würde), darüber hab ich auch schon nachgedacht...

Und das mit dem Inversen dachte ich, weil ja offenbar die Verknüpfungen alle bewirken, dass die Elemente der Menge selbstinvers sind. Somit ist das in der Tat so einfach (zumindest in meiner Auffassung Big Laugh

). Nein Spaß beiseite, ich weiß du hast da mehr Ahnung davon, trotzdem weiß ich nicht wo der Fehler liegt bei dieser Überlegung

24.11.2012, 14:33

IchNichtsSchuld

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Also als neutrales Element könnt ich mir auch noch die Menge M vorstellen weil $\begin{eqnarray*} M /cap X = X \end{eqnarray*}$

und zu b) habe ich leider auch keine Idee

24.11.2012, 15:08

charlydelta

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Stimmt, daran habe ich nicht gedacht, danke für deinen Tipp...
Ich werde nochmal drüber nachdenken

24.11.2012, 15:11

lgrizu

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@charlydelta:
In Ringen mit 1 gibt es stets nur ein (also genau ein) neutrales Element und nicht für jedes Element ein eigenes.
Hier solltest du dich noch einmal mit Ringen im allgemeinen auseinander setzen.

Desweiteren, ja, selbstinvers bezüglich der symmetrischen Differenz schon, aber bezüglich des Schnittes? verwirrt

Dass du darauf kommst wenn du meinst, dass jedes element sein eigenes neutrales besitzt ist nicht verwunderlich.

Also zuerst muss die Frage beantwortet werden, ob ein (festes) Element 1 aus P(M) existiert, so dass für alle Elemente x aus P(M) gilt: $\begin{eqnarray*} x \cap 1=x \end{eqnarray*}$ .

Und das ist, wie IchNichtsSchuld bereits gesagt hat die Menge M selbst.

Nun kommen wir also zu den Inversen. Dazu gibt es die Möglichkeit, sich einmal zu überlegen, wie viele Elemente denn nun eigentlich die Potenzmenge einer (erst einmal abzählbaren) Menge hat.

Oder man schreibt sich halt mal die Verknüpfungstabellen der Potenzmengenalgebra auf für eine Menge mit 2,3,4 Elementen, das ist noch übersichtlich und man kann eine Vermutung anstellen.

Ich würde allerdings - da nur festzustellen ist, wann es sich um einen Körper handelt - das Kriterium der Nullteilerfreiheit benutzen.

Überlegt einmal:

Sei M eine Menge, existieren dann disjunkte Teilmengen von M?

24.11.2012, 15:36

charlydelta

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Okay, vllt sollte ich noch folgendes beifügen:

http://s1.directupload.net/images/121124/r6sihzuj.png
Das ist unsere Definition von Ringen

Dazu noch das:

Eine echte Einschränkung, die wir uns hier sinnvoller Weise auferlegen, ist die dritte Forderung aus der De nition der Ringe, die Existenz eines Einselements. Ohne Forderung nach der Existenz eines Einselements wäre es viel schwieriger, interessante Aussagen über Ringe zu erhalten, und die Ringe in der linearen Algebra brauchen ohnehin ein Einselement. In manchen Quellen verzichtet man zunächst auf die Existenz einer Eins und nennt "unsere" Ringe dann Ringe mit Eins.

Aber danke, ich habe nun genug Anregungen für mein weiteres Vorgehen smile

Danke für eure Hilfe

24.11.2012, 16:44

charlydelta

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Okay, ich habe mir mal Gedanken gemacht und komme zu diesem Schluss für b):

Nach dem Kriterium der Nullteilerfreiheit kann $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{P}(M), \Delta, \cap) \end{eqnarray*}$ nur ein Körper sein, wenn $\begin{eqnarray*} M = \emptyset \end{eqnarray*}$ ist, oder?
Denn in der Potenzmenge gibt es sonst immer disjunkte Mengen, womit das Kriterium entkräftet wäre

Edit: Wobei, wenn ichs mir recht überlege kann das auch nicht sein, denn dann wären ja die zwei neutralen Elemente gleich und es kann auch kein Körper sein... Aber wenn ich M z.b. als {a, b, c} wähle, dann hat die Potenzmenge immer disjunkte Elemente: z.b. {a} und {b}, {b} und {c}, {a} und {c}... Tja... hmm

24.11.2012, 17:14

lgrizu

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Okay, nun haben wir den Fall $\begin{eqnarray*} M=\emptyset \end{eqnarray*}$ , der Fall ist aber trivial.

Dann hast du den Fall |M|=3 durchprobiert, hier gibt es auf jeden Fall disjunkte Teilmengen, ist richtig, alle voneinander verschiedenen einelementigen Teilmengen sind auf jeden Fall disjunkt.

Was ist mit dem Fall |M|=1?

24.11.2012, 17:52

charlydelta

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Stimmt, den Fall habe ich wegen eines Denkfehlers zu schnell abgetan.
Trotzdem ist das kein Körper für |M| = 0, da dann Eins und Nullelement die selben wären. Dann ist das ein Körper, genau dann wenn |M| = 1
Bei 2 oder mehr Elementen gibts wieder disjunkte Teilmengen und das Kriterium greift nicht mehr. Aber kann ich damit wirklich die Überprüfung auf Inverse komplett überspringen?
Des weiteren sagt der Satz nur, dass Körper nullteilerfrei sind. Ist es denn legitim zu behaupten, dass ein Ring, dessen neutrale Elemente ungleich sind, und der nullteilerfrei ist auch ein Körper ist? Deine rangehensweise erachte ich als logisch, und dennoch als *zu* einfach. (Klingt komisch aber ich denke du weißt was ich damit meine Big Laugh

)

24.11.2012, 18:07

lgrizu

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Für |M|=1 kann man ja die Körperaxiome nachweisen, ergibt sich aber schnell.

Für alle anderen Mächtigkeiten reicht es aus zu sagen, dass die Ringe ebend nicht nullteilerfrei sind und deshalb keine Körper.

24.11.2012, 18:19

charlydelta

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Zitat:

Original von lgrizu
Für |M|=1 kann man ja die Körperaxiome nachweisen, ergibt sich aber schnell.

Für alle anderen Mächtigkeiten reicht es aus zu sagen, dass die Ringe ebend nicht nullteilerfrei sind und deshalb keine Körper.

Klar, stimmt. Das ist cool, ich danke dir vielmals für deine zielgerichtete Hilfe smile

Ich habe nun alles verstanden smile

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