pi Element von S(M) und S(N)

24.11.2012, 11:55

maho12

pi Element von S(M) und S(N)

Meine Frage:
Hallo.

Folgende Aufgabe soll gelöst werden:
Sein M, N n-elemntige Mengen und f:M->N eine bij. Abb. Sei pi Element von S(M).
Zeigen Sie das dann $\begin{eqnarray*} fopiof^{-1} \end{eqnarray*}$ Element in S(N) ist und geben eine Darstellung von $\begin{eqnarray*} fopiof^{-1} \end{eqnarray*}$ als Produkt elementfremder Zyklen an, falls $\begin{eqnarray*} pi=(x_{1},x_{2},....,x_{n})(x_{n+1},...,x_{n1+n2} )...(x_{n-nk+1},...,x_{n} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n_{1}+...+n_{k}=n \end{eqnarray*}$ eine solche Darstellung ist. Schreben Sie die Elemente von N als $\begin{eqnarray*} f(x_{1}),...,f(x_{n}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Meine Idee für den ersten Teil war:

$\begin{eqnarray*} f:M->N<br /> f^{-1}:N->M \end{eqnarray*}$

Also ist:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}of: M->M \end{eqnarray*}$ , was bedeutet: $\begin{eqnarray*} id_{M}:M->M \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} fof^{-1}: N->N \end{eqnarray*}$ , was bedeutet: $\begin{eqnarray*} id_{N}:N->N \end{eqnarray*}$ .

Und da pi ein Element von S(M) ist, ist es auch eins von $\begin{eqnarray*} id_{M} \end{eqnarray*}$
Aber wie jetzt weiter? Müsste nicht S(M)=S(N) sein, da ich durch die Gleichung, nur auf $\begin{eqnarray*} id_{M} \end{eqnarray*}$ komme bzw. das pi ein Element von S(M) ist?

24.11.2012, 12:25

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Lern mal bitte Latex, z.B ist das ein Einstieg!

$\begin{eqnarray*} f\circ\pi\circ f^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f: M\to N \end{eqnarray*}$

usw.

24.11.2012, 13:58

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hilft mir beim Lösen der Aufgabe aber nicht weiter.

24.11.2012, 14:07

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

aber vielleicht den Helfern ...

24.11.2012, 14:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes: Hier hast du dich anscheinend verschrieben:

Zitat:

Original von maho12
$\begin{eqnarray*} pi=(x_{1},x_{2},....,x_{n})(x_{n+1},...,x_{n1+n2} )...(x_{n-nk+1},...,x_{n} ) \end{eqnarray*}$

Das sollte gewiss

$\begin{eqnarray*} \pi = (x_{1},x_{2},\ldots,x_{\color{red}n_1})(x_{{\color{red}n_1}+1},\ldots,x_{n_1+n_2}) \ldots (x_{n-n_k+1},\ldots,x_{n}) \end{eqnarray*}$

heißen. Nun zur Lösung:

Einfach mal ein bisschen "rechnen": Sei abkürzend $\begin{eqnarray*} g:= f\circ \pi \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ genannt, dann ist

$\begin{eqnarray*} g(f(x_1)) = f(\pi(f^{-1}(f(x_1)))) = f(\pi(x_1)) = f(x_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(f(x_2)) = f(\pi(f^{-1}(f(x_2)))) = f(\pi(x_2)) = f(x_3) \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} g(f(x_{n_1-1})) = f(\pi(f^{-1}(f(x_{n_1-1})))) = f(\pi(x_{n_1-1})) = f(x_{n_1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(f(x_{n_1})) = f(\pi(f^{-1}(f(x_{n_1})))) = f(\pi(x_{n_1})) = f(x_1) \end{eqnarray*}$

schon haben wir einen Zyklus. Dasselbe dann für die anderen $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ Zyklen, und schon ist man fertig.

24.11.2012, 15:45

maho12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab mich verschrieben. Sorry.

Die ersten beiden Zyklen sind logisch. Aber wieso schreibst du dann beim dritten $\begin{eqnarray*} x_{n1-1} \end{eqnarray*}$ bzw. beim vierten $\begin{eqnarray*} x_{n1} \end{eqnarray*}$ ?

Wie sieht es mit dem Beweis aus, das $\begin{eqnarray*} \pi\in S(N) \end{eqnarray*}$ ist? Sind meine Ideen richtig?

24.11.2012, 16:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von maho12
Ja, hab mich verschrieben. Sorry.

Die ersten beiden Zyklen sind logisch. Aber wieso schreibst du dann beim dritten $\begin{eqnarray*} x_{n1-1} \end{eqnarray*}$ bzw. beim vierten $\begin{eqnarray*} x_{n1} \end{eqnarray*}$ ?

Siehst du die "Pünktchen" zwischen der zweiten und dritten Zeile? Na also.

Zitat:

Original von maho12
Wie sieht es mit dem Beweis aus, das $\begin{eqnarray*} \pi\in S(N) \end{eqnarray*}$ ist?

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} \pi\in S(M) \end{eqnarray*}$ , und zwar nach Voraussetzung. Meinst du stattdessen $\begin{eqnarray*} g\in S(N) \end{eqnarray*}$ ? Na das wird doch dadurch bewiesen, wenn du alle $\begin{eqnarray*} g(f(x_k)) \end{eqnarray*}$ wie beschrieben ausrechnest!!!

Zitat:

Original von maho12
Sind meine Ideen richtig?

Richtig ja, aber zielführend für die Aufgabenstellung? Kann ich zumindest nicht erkennen.

25.11.2012, 11:10

mathe_maed'l

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000.

Kannst du mir bitte trotzdem das erklären, was maho12 bei den Zyklen wissen wollte? Ich versteh's irgendwie nicht.

Danke.

25.11.2012, 19:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh's auch nicht, was nicht verständlich sein soll: Die obige Rechnung zeigt doch ausführlichst, dass $\begin{eqnarray*} g:= f\circ \pi \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ den Zyklus $\begin{eqnarray*} (f(x_1),f(x_2),\ldots, f(x_{n_1-1}),f(x_{n_1})) \end{eqnarray*}$ hat. Und bei den anderen Zyklen läuft es genauso - was gibt's da noch groß zu sagen? verwirrt

25.11.2012, 20:56

mathe_maed'l

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht klar.
Danke.

Neue Frage »

Antworten »

pi Element von S(M) und S(N)

Verwandte Themen