Rang von linearen Abbildungen

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24.11.2012, 22:49	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang von linearen Abbildungen Hi Wir sollten Folgendes mit Hilfe von Eigenschaften linearer Abbildungen beweisen: a) Für n,m-Matrizen A und B gilt: Rg(A+B) =< RgA + RgB Im Beweis wurden nun folgende Eigenschaften verwendet, welche ich nicht nachvollziehen kann: Seien A* und B* die den Matrizen entsprechenden Abbildungen von K^m -> K^n (i) Bild (A* + B) $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ Bild A + Bild B* (ii) dim Bild (A* + B) <= dim (Bild A + Bild B) <= dim Bild A + dim Bild B* Bei (ii) ist mir glaube ich die erste Ungleichung klar (folgt aus (i)) - was genau ist aber mit der Zweiten? Danke!
25.11.2012, 15:49	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
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25.11.2012, 18:30	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ichs wo anders posten bitte?
25.11.2012, 18:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die zweite Ungleichung kannst du die Dimensionsformel anwenden. Für die Inklusion in (i) schreibe dir die Definitionen auf.
25.11.2012, 18:49	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Zu (i): Also wenn ich mir die Definition von Bild anschaue, und annehme das beide Abbildungen Vektoren v von einem Vektorraum V in einen anderen Vektorraum abbilden, dann habe ich ja etwas der Form: Bild(A+B) = (A+B)(v) $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ A(v)+B(v) = Bild(A)+Bild(B) Stimmt das? Aber was bedeutet denn (A+B)(v)?
25.11.2012, 19:55	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, so ganz sauber ist die Gleichung nicht. $\begin{eqnarray} (A^+B^)(v) \end{eqnarray}$ ist einfach $\begin{eqnarray} A^(v)+B^(v) \end{eqnarray}$ . Jetzt schreibe aber die Summe der beiden Bilder nochmal sorgfältiger auf.
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25.11.2012, 20:32	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ich lasse die Sterne weg, meine aber nun die Abbildungen, nicht die Matrizen. Also so?: $\begin{eqnarray} Bild(A+B) = \{A(v) + B(v); v \in V\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Bild(A) + Bild(B) = \{A(v); v \in V\} + \{B(v); v \in V\} \end{eqnarray}$ macht das Sinn?
25.11.2012, 20:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Und nun schreibe die Summe aus der zweiten Gleichung in nur eine Menge (dabei aber aufpassen!).
25.11.2012, 21:03	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, danke für den Tipp. Also: $\begin{eqnarray} Bild(A) + Bild(B) = \{A(v)+B(w); v,w \in V\} \end{eqnarray}$ ?
25.11.2012, 21:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau Und vergleiche das mal mit $\begin{eqnarray} \{A(v)+B(v):v\in V\}\,. \end{eqnarray}$
25.11.2012, 22:00	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok,alles klar :-) Ich verstehe aber ii) noch nicht: (ii) dim Bild (A* + B) <= dim (Bild A + Bild B) <= dim Bild A + dim Bild B* Die erste Ungleichung folgt denke ich wie gesagt aus dem, was wir gerade gezeigt haben. Warum würdest du die zweite Ungleichung aber dem dem Dimensionssatz zeigen?
25.11.2012, 22:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso nicht? Hast du es damit überhaupt schon versucht?
25.11.2012, 23:24	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich hab ichs probiert. Ich bin auf sowas gekommen: dim(A + B) =< dimA + dimB wusste aber nicht, ob das Sinn macht...(ich glaub nicht).
25.11.2012, 23:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn A und B jetzt Vektorräume sein sollen, stimmt das so. Und natürlich kannst du das auch auf die Bilder anwenden, das sind ja auch Vektorräume.
25.11.2012, 23:36	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm...ich hab aber nicht wirklich den Dimensionssatz verwendet, das folgt für mich einfach aus i) und der Teilmengenbeziehung.
25.11.2012, 23:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Ungleichung folgt daraus, aber das Aufteilen auf die Summe zweier Dimensionen doch nicht.
26.11.2012, 09:53	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Lehre aus der Geschichte für mich: Immer die Sätze aufschreiben, die man meint. Wir nennen das Folgende den "Dimensionssatz": Dim V = Dim Im F + Dim Ker F Für einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung F. Du meinst aber wohl diesen Satz: dim (U && V) + dim (U+V) = dim U + dim V für Vektorräume U, V..damit ist es natürlich klar... Danke! Edit: Ich hab noch ne zweite Frage zu Rangsätzen - kann ich das hier rein stellen?
26.11.2012, 18:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das klärt dann wohl einiges Kann auch sein, dass das, was ich meinte, als Dimensionsformel bezeichnet wird Naja, ich dachte, es wäre klar. Zur neuen Frage öffne lieber einen anderen Thread. Das ist generell übersichtlicher und dieser hier ist schon voll genug. (außerdem habe ich gerade kaum Zeit)

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