Erwartungswert

25.11.2012, 11:13

1nstinct

Erwartungswert

Hallo zusammen,

Ich habe folgendes Problem.

Ich habe einen Algorithmus, der mit WS $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Schritten und mit WS $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Schritten $\begin{eqnarray*} (a<b) \end{eqnarray*}$ abbricht.

Der Erwartungswert ist also: $\begin{eqnarray*} E_1(X)=\sum_{\omega \in \Omega}X(\omega)\cdot P(\omega)=ap+b(1-p) \end{eqnarray*}$

Nun wird der Algorithums so verändert, dass, wenn er nicht nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Schritten stoppt,stets neu startet und der neue Anlauf jeweils unabhängig vom vorigen ist.

Dann sollen Werte für $\begin{eqnarray*} p,a,b \end{eqnarray*}$ angegeben werden, so dass der veränderte Alogorithmus besser (kürzer) ist.

Hier habe ich Probleme mit $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E_2(X)=\sum_{\omega \in \Omega}X(\omega)\cdot P(\omega)=ap+2ap^2+3ap^3+...=a\sum_{j=1}^\infty jp^j=a\frac {p}{(1-p)^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} p\to 1 \end{eqnarray*}$ ausprobiere, ist $\begin{eqnarray*} E_2(X)\to \infty \end{eqnarray*}$ , was aber nicht stimmt, da für $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$ die Laufzeit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist.

Ich hoffe, ich konnte das verständlich aufschreiben smile

MfG

25.11.2012, 13:30

Huggy

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RE: Erwartungswert
Deine Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X=ka) \end{eqnarray*}$ sind für $\begin{eqnarray*} k \geq 2 \end{eqnarray*}$ nicht richtig.

25.11.2012, 13:58

1nstinct

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RE: Erwartungswert
Erst mal danke für deine Hilfe.

Ich hab mir das jetzt am guten alten Baumdiagramm klargemacht.

Also müsste $\begin{eqnarray*} E_2(X)=ap+a\sum_{j=2}^\infty (1-p)^{j-1}p=ap(1+\sum_{j=2}^\infty (1-p)^{j-1})=ap\sum_{j=0}^\infty(1-p)^j=ap\frac {1-p}{p^2}=\frac {a(1-p)}{p} \end{eqnarray*}$ sein?

MfG

25.11.2012, 14:20

Huggy

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RE: Erwartungswert
Jetzt hast du die Faktoren k von ka vergessen.

25.11.2012, 15:34

1nstinct

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RE: Erwartungswert
Oje, tut mir leid unglücklich

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} E_2(X)=\sum_{j=0}^\infty j\cdot a\cdot(1-p)^{j-1}\cdot p=ap\cdot \sum_{j=0}^\infty j(1-p)^{j-1}, p<1 \end{eqnarray*}$

Nun muss ich also folgende Gleichung betrachten:

$\begin{eqnarray*} ap+b(1-p)> ap\cdot \sum_{j=0}^\infty j(1-p)^{j-1} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} b=a+n, n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+n(1-p)>ap\cdot \sum_{j=0}^\infty j(1-p)^{j-1} \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:

$\begin{eqnarray*} ap\cdot \sum_{j=0}^\infty j(1-p)^{j-1}=\frac {ap}{1-p}\sum_{j=0}^\infty j(1-p)^j=\frac {ap}{1-p}\cdot \frac {1-p}{p^2}=\frac {a}{p} \end{eqnarray*}$

Insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} \frac {a}{p}<a+n(1-p) \Leftrightarrow a-ap<np(1-p) \Leftrightarrow a<np \end{eqnarray*}$

MfG

25.11.2012, 16:45

Huggy

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RE: Erwartungswert
$\begin{eqnarray*} E_2(X) \end{eqnarray*}$ stimmt jetzt. Dann hast du $\begin{eqnarray*} E_1(X) \end{eqnarray*}$ aber falsch eingesetzt. Und damit meine ich nicht, dass das b jetzt n heißt.