isomorph

25.11.2012, 11:14

Nipsild

isomorph

Sind die folgenden Gruppen G und H isomorph?
G = (Q; +) und H = (Q $\begin{eqnarray*} _{>0} \end{eqnarray*}$ ; * ).

Meine Idee:
Der Gesuchte Homomorphismus muss "+1" enthalten da das neutrale Element e wieder auf das neutrale Element abgebildet werden muss.

Wobei ich vermute das G und H nicht isomorph sind, allerdings habe ich keine Ahnung wie ich das beweisen soll. Ich müsste zeigen dass es keinen bijektiven Homomorphismus zwischen H und G gibt.

Danke

25.11.2012, 13:36

Mystic

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RE: isomorph
Deine Gruppe G hat eine ganz ungewöhnliche Eigenschaft, welche außerordentlich selten ist, nämlich teilbar zu sein... Überflüssig zu sagen, dass H nicht teilbar ist...

25.11.2012, 13:52

Nipsild

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leider wurde Teilbarkeit von Gruppen noch nicht behandelt

25.11.2012, 14:36

Mystic

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Dann nimm einfach einen Spezialfall daraus, z.B. die Gleichung x*x=e, wobei * die jeweilige Verknüpfung und e das jeweilige Einselement in G bzw. H ist... Worin besteht in diesem Fall genau der Unterschied?

25.11.2012, 15:00

Nipsild

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Zitat:

Original von Mystic
Dann nimm einfach einen Spezialfall daraus, z.B. die Gleichung x*x=e, wobei * die jeweilige Verknüpfung und e das jeweilige Einselement in G bzw. H ist... Worin besteht in diesem Fall genau der Unterschied?

Bei (Q + ) ist die Lösung eideutig, aber bei $\begin{eqnarray*} (Q_{>0}) \end{eqnarray*}$ lautet sie $\begin{eqnarray*} \sqrt{e} \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 15:15

Mystic

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Zitat:

Original von Nipsild
Bei (Q + ) ist die Lösung eideutig, aber bei $\begin{eqnarray*} (Q_{>0}) \end{eqnarray*}$ lautet sie $\begin{eqnarray*} \sqrt{e} \end{eqnarray*}$

Dumm von mir, da ich übersehen habe, dass hier ha nur die positiven rationalen Zahlen berachtet werden... unglücklich

Aber nachdem ich dir schon gesagt habe, worauf es ankommt, könntest du vielleicht selbst versuchen ein Beispiel zu finden, wo die Lösungsanzahl nicht übereinstimmt...

25.11.2012, 16:50

Nipsild

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Ja, ein Beispiel wäre:

$\begin{eqnarray*} x^2 = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 3, x_2= (-3) \end{eqnarray*}$

Aber in wie fern bringt mich das weiter

25.11.2012, 17:14

Mystic

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Dein Beispiel bringt dich überhaupt nicht weiter, denn

x²=9

hat in G die Gestalt

2x=9

und damit die eindeutige Lösung x=9/2... In H hat es aber auch nur(!) die Lösung x=3, d.h., die Lösungsanzahl stimmt überein...

Denk dir doch bitte eine Gleichung aus, wo das nicht der Fall ist...

25.11.2012, 17:26

Sly

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Warum sollte der Homomorphismus die Zahl 9 auf sich selbst schicken? Man sollte vielleicht schon beachten, dass man das in der Regel nicht hat.

D.h. nehme an, es gäbe einen Iso $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{Q}_{>0},\cdot) \to (\mathbb{Q},+) \end{eqnarray*}$ . Aus einer Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n=c \end{eqnarray*}$ folgt dann NICHT $\begin{eqnarray*} n\cdot x = c \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} n\cdot f(x)=f(c) \end{eqnarray*}$ .

Aber das kann man ohne Probleme zum Widerspruch führen.

25.11.2012, 17:55

Mystic

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Ja, in der Tat, ich hab mich da mit auf's Glatteis führen lassen... unglücklich

Also halten wir nochmals fest: In G gilt, dass jede Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^n=c \quad (n \in \mathbb{N}^*, c \in G) \end{eqnarray*}$

eindeutig lösbar ist... Man müsste also nur zeigen, dass dies in H nicht der Fall ist...

25.11.2012, 19:40

Nipsild

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(x-4)^2 = 9
x-4 = 3

x_1 =7, x_2 =1

Für G
2(x-4) = 9
x= 8,5

Aber wie leite ich das von def. Isomorph ab ? Also das daraus folgt das die Behauptung gilt

26.11.2012, 00:18

Mystic

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Leider hast du den berechtigten Einwand von Sly überhaupt nicht verstanden... unglücklich

Wenn f:G->H ein Isomorphismus wäre und nx=c mit n>0 eine Gleichung in G (additiv geschrieben!), so wäre dann nicht

$\begin{eqnarray*} x^n=c \end{eqnarray*}$

automatisch in H lösbar, sondern nur

$\begin{eqnarray*} x^n=f(c) \end{eqnarray*}$

was aber hier auch schon ausreichen sollte, wenn man nur n und c geeignet wählt...

Edit: Ist aber jetzt mein letzter Hinweis in dieser Aufgabe, alles andere wäre dann schon eine Komplettlösung...

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