Transformationsmatrix

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10.02.2007, 16:25	T3rm1n4T0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix Hallo! Ich komme gerade bei einer Aufgabe nicht weiter, bei der nach einer Transformationsmatrix gefragt ist. Gegen sei eine Gerade $\begin{eqnarray} G_1: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \\ \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} ; \vec{b} =\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wie lautet die Transformationsmatrix, die G1 an der Geraden G2: x2 = x1+3 spiegelt und welche Gerade ergibt sich dann? Mein Ansatz war nun, erstmal die 3 einzelnen Transformationsmatrizen aufzustellen: Für die Ttranslation in den Ursprung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für die Spiegelung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und für die Translation zurück: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt ist es doch richtig, wenn man von "hinten nach vorne" multipliziert. Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und das Ergebnis muss dann nochmal mit der Translation zum Ursprung multipliziert werden. Es ergibt sich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Laut Lösung ist dieses Ergebnis aber falsch. Ich kann mir nicht erklären, warum das so sein sollte. Wie kann ich aus der Lösung die gespiegelte Gerade errechnen? Was muss man dazu mit der Transformationsmatrix machen?
11.02.2007, 00:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix So, beim Warten auf andere Beiträgen habe ich ein bischen was zu deiner Aufgabe gerechnet. Da ich es nicht löschen will, poste ich es mal. ___________________________________________________________ $\begin{eqnarray} G_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G2: x_2 = x_1+3 \end{eqnarray}$ Etwas seltsame Angabe, oder? naja, zum Plotten soll es mir recht sein. $\begin{eqnarray} G2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \delta \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G1: x_2 = 3x_1-5 \end{eqnarray}$ Welchen Winkel schließen die jetzt ein? $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}> = (-1)\cdot 1 + (-3) \cdot 1 = -4 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} \cdot cos (\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(\phi) = \frac{-4}{\sqrt{20}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi \approx 26,56° \end{eqnarray}$ wo schneiden sie sich? $\begin{eqnarray} 3x_1-5 = x_1+3 \Leftrightarrow 2x_1 = 8 \Leftrightarrow x_1 = 4 \end{eqnarray}$ S(4 / 7) Spiegelgerade: $\begin{eqnarray} G3: x_2 = \frac{1}{3}x_1 + \frac{17}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\7 \end{pmatrix} + \delta \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ___________________________________________________________ Frage: Wir befinden uns im R², warum hast du eine 3x3-Matrix aufgestellt? Wie verschiebst Du in den Urspung? Müßtest Du nicht ersteinmal den Schnittpunkt bestimmen? Gruß und schönen Sonntag,
11.02.2007, 00:43	T3rm1n4T0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Verschieben im $\begin{eqnarray} R^2 \end{eqnarray}$ braucht man einen 3x3 Matrix, wenn man noch mehr Operationen durchführt und nur eine Transformationsmatrix haben möchte. Stichwort: Homogene Koordinaten. In den Ursprung verschieben ist eigentlich ganz einfach. Ich weiß, dass der Gerade G2, ander der gespiegelt werden soll, durch den y-Achsenabschnitt 3 geht und eine Steigung von 1 hat. Deswegen verschiebe ich erst in den Ursprung, 3 nach unten, 3 nach rechts, spiegel dann und danach schieb ichs wieder zurück. Alle dazu notwendigen Matrizen habe ich ja aufgeschrieben.
11.02.2007, 11:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob das mit den 3x3 so ist, muss ich erst nachschlagen. Ich hatte nur anders verschoben. Denn der Punkt, der sich nicht ändert bei der Spiegelung, ist der Schnittpunkt von G1, G2. Der Liegt bei (4,7). Kannst du mal die angegebene Lösung posten. Gruß, tigerbine Mit den Mathe tools kannst du prüfen, ob du dich bei den Matrizenmultiplizieren "verrechnet" hast.
11.02.2007, 12:54	T3rm1n4T0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Rauskommen soll folgendes: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und für die Gerade nach der Spiegelung: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wie man die Gerade mit der Transformationsmatrix ausrechnet weiß ich nicht. Das müsste mir nochmal jemand erklären. Das Ergebnis für die Transformationsmatrix habe ich auch, allerdings nur als Zwischenergebnis. Das wundert mich ein bisschen.
11.02.2007, 13:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Ich versuch das dann auch mal nachzurechnen. Gruß
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11.02.2007, 18:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich versuch mal meine Schritte von oben mit Matrizen zu schreiben. $\begin{eqnarray} G_1: \vec{g_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda \\ 1 - 3\lambda \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1. Verschiebung des Schnittpunkts in den Urpsrung $\begin{eqnarray} T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_1\cdot \vec{g_1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 - \lambda \\ 1 - 3\lambda \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda -4 \\ 1 - 3\lambda -7 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - \lambda \\ -6 - 3\lambda -7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_1': \vec{g_1'} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_2': \vec{g_2'} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} + \delta \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Spiegelung an G2' Der Winkel den G2' mit der x1-Achse einschließt ist 45°. Daher ist $\begin{eqnarray} \alpha = 90° \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_2\cdot \vec{g_1'} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 - \lambda \\ -6 - 3 \lambda \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 3 \lambda \\ -2 - \lambda \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_3': \vec{g_3'} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\1 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} - 3 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 3 \lambda \\ -2 - \lambda \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. Verschiebung rückgangig machen $\begin{eqnarray} T_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_3 \cdot \vec{g_3'} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 - 3 \lambda \\ -2 - \lambda \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 3 \lambda \\ 5 - \lambda \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G3: \vec{g_3} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} - 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 4. Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} T_3\cdot T_2 \cdot T_1 = \begin{pmatrix}0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Puh, also war die Idee doch richtig
11.02.2007, 21:41	T3rm1n4T0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Mühen dich in die Aufgabe reinzuarbeiten und für de ausführliche Lösung. Ich schreibe morgen meine LinA Klausur und dies hat mir nochmal sehr geholfen. Mein Vorgehen unterscheidet sich ja eigentlich nur in der Translation. Du hast den Schnittpunkt in den Ursprung geschoben und ich einfach irgendeinen anderen. Das dürfte eigentlich kein falsches Ergebnis liefern. Ich werd mich also irgendwo verrechnet haben.
11.02.2007, 21:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich mir nicht sicher. Ich würde Dir "meinen Weg" empfehlen, denn den anderen Ansatz kann ich heute nicht mehr überprüfen. Viel Erfolg
11.02.2007, 21:54	T3rm1n4T0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ich seh grad, dass meine Translation falsch ist. Ich schiebe merkwürdigerweise 3 nach unten und 3 nach rechts. Totaler Schwachsinn ^^ Dass einem das aber auch nie auffällt :/

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