Vektorraum und Basis

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MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum und Basis
Aufgabe:

a) Weisen Sie nach, dass ein Vektorraum ist und geben sie eine Basis an.

b) Zeigen Sie, dass die Polynome und linear unabhängig sind.

c) Ergänzen Sie die Polynome aus b) zu einer Basis von .


Meine Ideen:

Zu b) Behauptung: p(t),q(t) und r(t) sei linear unabhänig.
die Polynome p(t),q(t) und r(t) sind linear unabh.

Stimmt das so?

Zu a): Hier kann ich nichts mit anfangen. Wie ich ein Vektorraum nachweise, weiß ich. Eben einfach die Voraussetzungen prüfen, aber was bedeutet das [x] und das deg(p)?

Bei c) dasselbe Problem..

Bitte um Hilfe! Danke im Voraus!smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich das überblicke ist die lineare Unabhängigkeit korrekt.

Zitat:
u a): Hier kann ich nichts mit anfangen. Wie ich ein Vektorraum nachweise, weiß ich. Eben einfach die Voraussetzungen prüfen, aber was bedeutet das [x] und das deg(p)?


Schwer vorzustellen dass man euch Aufgaben gibt bei denen die Notation unbekannt ist. Aber dazu :

Ist ein Körper so bezeichnet man mit den Vektorraum der Polynome in . Sprich, ist der Vektorraum der reellen Polynome. Mit bezeichnet man den Grad des Polynoms, also der größte Exponent. Sprich, insgesamt betrachtest Du den Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleinergleich 3.

c) Naja, wieviel Punkte braucht man um ein Polynom mit k koeffizienten eindeutig festzulegen ? Wie hilft Dir das für eine Basis ? (im Prinzip stellt sich ja nur die Frage wieviel Vektoren Du zu b) hinzufügen musst).
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

a) Also ist die Menge der Polynome mit Grad kleiner gleich 3?

Nachweis des Vektorraums:

V1) Assoziativität:



Wäre das so richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wäre das so richtig?


Japp, das Argument klappt bei den ganzen Vektorraumaxiomen. Was man eigentlich macht ist die Polynomoperationen auf Operationen in runterzubrechen und dort die Körperaxiome auszunutzen.

Zitat:
ie Menge der Polynome mit Grad kleiner gleich 3?


Hab ich doch schon gesagt oder? Augenzwinkern
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dankeschön! Hat mir schon weitergeholfen!

Und zur c) Ich muss zur b) nur einen Vektor hinzufügen, oder?

Wäre dieser eine Möglichkeit?

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wäre dieser eine Möglichkeit?


Keine Ahnung, sind denn die 4 Vektoren dann linear Unabhängig? Das musst Du prüfen!

edit :

Ja, der Vektorraum der Polynome vom maximalen Grad 3 ist vierdimensional.
 
 
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Müssen sie wirklich linear unabhängig sein? Genügt es nicht, wenn 2 eine Basis sind und alle ein Erzeugendensystem bilden?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Genügt es nicht, wenn 2 eine Basis sind und alle ein Erzeugendensystem bilden?


Wenn der Vektorraum vierdimensional ist, reichen sicherlich nicht 2 linear unabhängige Vektoren aus um den Raum zu erzeugen, denn sonst wäre der Raum nicht vierdimensional sondern nur zweidomensional. Abgesehen davon würden sie dann kein Erzeugendensystem des Raumes sein.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt, dann zeige ich jetzt, dass die 4 Vektoren linear unabhängig sind:






Wenn ich das jetzt einsetze und umforme wie in b) erhalte ich 4 Gleichungen:





Diese sind jetzt analog zu b) also sind die 4 Vektoren linear unabhänig!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Japp, so geht das. Offensichtlich lässt sich jetzt jedes Polynom vom Grad 3 als Linearkombination dieser 4 Vektoren darstellen da man dafür ja nur ein lineares Gleichungssystem in den Koeffizienten lösen muss.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Danke für deine Hilfe!smile
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