Untervektorraum, ja oder nein?

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Yil Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum, ja oder nein?
Gegeben sei die folgende Teilmenge Mi von des Vektorraums der Abbildung von nach . Untersuchen Sie jeweils, ob diese Teilmenge einen Unterraum von bildet und begründen Sie Ihre Antwort.

(a)
(b) . Dabei ist f gerade, falls f(-x) = f(x) ist für alle


Mir ist klar, dass ich die Bedingungen eines Untervektorraums prüfen muss, die wären

1. M darf nicht leere Menge sein
2. wenn u, v Elemente aus M sind, dann ist auch u+v ein Element aus M
3. Wenn u Element von M ist, dann ist auch Element von M

Desweiteren muss sowohl ein Inverses enthalten sein, als auch die 0.

Ich verstehe nur nicht, wie ich das hier prüfen soll. Ich habe ja im Prinzip nicht mal eine richtige Formel, an der ich das ausprobieren soll????

Ich denke mal, dass (a) kein Unterraum ist, weil die 0 nicht definitiv darin enthalten ist oder? Ich meine, ich kann ja nicht sagen, dass f(0)=0 ist oder? Ausserdem verstehe ich nicht ganz, mit welchen Werten ich vergleichen soll? Ich habe ja nur die 1 und die 3 gegeben! Was mache ich jetzt aber damit?

Könnte mir vielleicht jemand helfen, das zu verstehen? Die Aufgabe (b) ist im Moment Nebensache. Wenn ich (a) verstanden habe, werde ich versuchen die (b) zu lösen. Im Moment will ich einfach nur verstehen, wie ich vorgehen muss.

Schon mal vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

Liebe Grüße

Yil
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich denke mal, dass (a) kein Unterraum ist, weil die 0 nicht definitiv darin enthalten ist oder?


ja richtig, Die Begründung

Zitat:
Ich meine, ich kann ja nicht sagen, dass f(0)=0 ist oder?


Ist aber falsch. In der Definition wird nichts über f(0) gesagt. Wir wissen aber dass f(1) = 3 ist, damit kann die Nullfunktion niemals drin sein => Kein Unterraum. Das wars schon.

Zitat:
Desweiteren muss sowohl ein Inverses enthalten sein


Für Unterräume ist das inverse nicht zu prüfen. Die Existenz dessen folgt aus der Unterraumeigenschaft. (zudem muss genau definieren was man mit inverses meint)
 
 
Alive-and-well Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir zunäcsht überlegen(was du ja auch schon geschrieben hast) was das Nullelement (0) ist also wie es aussieht.
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

ja super danke! Dann war ich doch nicht ganz daneben, mit meinen Überlegungen! Das gibt mir ein bisschen Mut Freude
Ich mach mich mal dann an die (b) dran! Mal schauen, ob ich das irgendwie hinbekomme

Danke noch mal Gott
Alive-and-well Auf diesen Beitrag antworten »

Vorgehen könntest du zB auch so:



Sei:

Frage:
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

für die (b) müsste dann doch gelten:

f(-0)=f(0), da die Null als gerade Zahl angenommen werden kann, dürfte ich damit gezeigt haben, dass die 0 ein Element in M2 ist.

Weiter müsste ich doch so vorgehen:

f(0+2n)=f(0)+f(2n) = f(2n) aber das wäre ja nicht f(-2n)

Heißt das jetzt, es handelt sich nicht um einen Untervektorraum?

Mein dritter Punkt lautet ja . Also müsste ich prüfen, ob



ist. Aber auch hier habe ich ja nicht zwangsläufig gegeben, dass f(2n)=f(-2n) ist oder?

Oh man, ich schnalls einfach nicht.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
f(-0)=f(0), da die Null als gerade Zahl angenommen werden kann, dürfte ich damit gezeigt haben, dass die 0 ein Element in M2 ist.


Nein, Du hast nur gezeigt, dass die Nullfunktion an der Stelle 0 die Bedingung erfüllt. Du musst aber zeigen, dass die Bedingung für alle gilt. Im übrigen wird hier von geraden Funktionen gesprochen, nicht von geraden Zahlen.
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

oh ich habe da was vergessen!

Ich meinte natürlich

= und das ist nicht

Ist das überhaupt richtig, was ich hier von mir gebe? verwirrt verwirrt
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ich verstehe! Aber wie mach ich das denn???
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist das überhaupt richtig, was ich hier von mir gebe? verwirrt verwirrt


Manchmal ist es hilfreich langsam vor zu gehen und mal genau aufzuschreiben was zu tun ist. Etwa für die Nullfunktion:

Die Nullfunktion gehört genau dann zu der Menge, wenn die Nullfunktion eine gerade Funktion ist. Wir müssen also Beweisen oder Widerlegen dass sie gerade ist. Was heißt das ? Wo wollen wir hin? Aufschreiben!
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein, Du hast nur gezeigt, dass die Nullfunktion an der Stelle 0 die Bedingung erfüllt. Du musst aber zeigen, dass die Bedingung für alle gilt. Im übrigen wird hier von geraden Funktionen gesprochen, nicht von geraden Zahlen.


Wie zeige ich das denn richtig?

f(x)=f(-x) Das ist doch nur dann gleich, wenn x=0 ist, oder nicht? Oder geht es nur um die Aussage, dass f einfach nur gerade ist, egal, ob sie positiv oder negativ dargestellt ist und das Ergebnis voneinander durch das Minuszeichen abweicht. Im Prinzip soll sie einfach nur gerade sein??? verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
f(x)=f(-x) Das ist doch nur dann gleich, wenn x=0 ist, oder nicht?


Offensichtlich nicht. Betrachte etwa als Funktion , dann ist auch für alle x da ist. Wir betrachten jetzt einen sehr speziellen Fall, nämlich



ist diese Funktion gerade?
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Manchmal ist es hilfreich langsam vor zu gehen und mal genau aufzuschreiben was zu tun ist. Etwa für die Nullfunktion:

Die Nullfunktion gehört genau dann zu der Menge, wenn die Nullfunktion eine gerade Funktion ist. Wir müssen also Beweisen oder Widerlegen dass sie gerade ist. Was heißt das ? Wo wollen wir hin? Aufschreiben!


Oh man, du frägst mich was? Ich verstehe, was du meinst, aber ich hab keinen blassen Schimmer, wie ich das Beweisen soll! Forum Kloppe
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


ist diese Funktion gerade?


Ich würde sagen ja, aber ich bin mir nicht ganz sicher. Kann ich meine Aussage wiederlegen, indem ich sage

für x= 2n+1
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
für x= 2n+1


Das macht keinen Sinn.

Zitat:
Ich verstehe, was du meinst, aber ich hab keinen blassen Schimmer, wie ich das Beweisen soll!


Bevor man etwas beweist schreibt man hin was zu beweisen ist. Dafür muss man nicht nachdenken da man nur bekanntes hinschreibt.

Wir wollen zeigen, dass die Nullfunktion zu der Menge gehört. Wir wollen also Beweisen, dass die Nullfunktion eine gerade Funktion ist. Nach Definition ist die Funktion gerade wenn gilt

f(x) = f(-x) für alle x.

Offenbar gilt für die Nullfunktion (f = 0) :

f(x) = 0 = f(-x)

Daher ist die Nullfunktion gerade und gehört somit zur Menge.
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wir wollen zeigen, dass die Nullfunktion zu der Menge gehört. Wir wollen also Beweisen, dass die Nullfunktion eine gerade Funktion ist. Nach Definition ist die Funktion gerade wenn gilt

f(x) = f(-x) für alle x.

Offenbar gilt für die Nullfunktion :

f(x) = 0 = f(-x)

Daher ist die Nullfunktion gerade und gehört somit zur Menge.


Ok, alles klar! Wie schon gesagt, die Funktion und nicht die einzelnen Werte sind gerade! Hab ich verstanden, deswegen ist auch die 0 eine Teilmenge der Bedingung von (b).
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
deswegen ist auch die 0 eine Teilmenge der Bedingung von (b).


Das ist nicht richtig. Die 0-Funktion ist ein Element der Menge keine Teilmenge.
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Zitat:
deswegen ist auch die 0 eine Teilmenge der Bedingung von (b).


Das ist nicht richtig. Die 0-Funktion ist ein Element der Menge keine Teilmenge.


Freude ok, alles klar, hab ich verstanden!

Zusammengefasst:

Wir wissen jetzt, dass die "0-Funktion ein element der Menge ist". Also wissen wir jetzt, dass die Bedingung 0 Element M erfüllt ist.

Zu prüfen wäre jetzt noch

1. Ob ein Inverses existiert
2. die additive Verknüpfung u+v Element M
3. die multiplikative Verknüpfung

zu

1. Wir wissen ja jetzt, dass das Nullelement existiert, also kann ich doch sagen:
f(x)+(-f(x))=0= f(-x)+ (-f(-x)) (2. ist hier auch schon mit drin)
also : f(x)-f(x)=0= f(-x)-f(-x)

Also gibt es auch ein Inverses zu f gerade. Oder?
Yil Auf diesen Beitrag antworten »

oh, ich habe ganz vergessen, dass man bei Unterräumen keine Inverse prüft geschockt

Ich muss also zeigen:

g(x) gerade und f(x) gerade:

(g+f)(x)= g(x)+ f(x)

Hab ich das jetzt schon gezeigt??? verwirrt
da g gerade und f gerade, dann ist auch die additive Verknüpfung gerade. Das wars schon, oder?


Angenommen m entspricht meinem lambda, das ist einfacher zu schreiben, ich kenne mich hier noch nicht richtig aus, deswegen diese Schreibweise:

Dann muss ich doch zeigen:

m(f(x))= (mf(x)) und wenn f schon gerade ist, dann muss auch m(f(x)) gerade sein.
Alive-and-well Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man Probleme mit solchen aufagben hat sollte man Schritt für Schritt ganz langsam vorgehen.

1) Prüfen on die Menge nicht leer ist (hast du)
2) Prüfen ob das Nullelemnt enthalten ist (Hast du)
3) Abgeschlossenheit der Addition:
Dazu kann man zB so vorgehen:

Seien


Sei nun:


Jetzt musst du
bestimmen wenn du zeigen kannst, das gilt: hast du gezigt (oder eben nicht) das eine abgeschlossenheit gegenüber der Addition vorliegt.

4) Abgeschlossenheit gegenüber der Skalaren Multiplikation
(vorgehen wie bei 3) )
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