gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen

26.11.2012, 22:31

deppensido

gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen

Hallo,

es geht um den Aufgabenteil b) vom Anhang. Teil a) habe ich mit reingemacht, weil man evtl. die Formel braucht, die man da beweisen soll.

Bisher habe ich: gemeinsame Verteilung von $\begin{eqnarray*} X1, X2, X3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(X1 = x1, X2 = x2, X3 = x3) = n! / (x1!*x2!*x3!) * p1^{x1} * p2^{x2} * p3^{x3} \end{eqnarray*}$ bis hier bin ich mir noch sicher, dass es stimmt.

Für den Teil: $\begin{eqnarray*} X1 \end{eqnarray*}$ als 1-dimensionale Randverteilung habe ich:

$\begin{eqnarray*} P(X1 = x1) = P(X1 = x1, X2 = x1) + P(X1 = x1, X2 = x2) + P(X1 = x1, X3 = x1) + P(X1 = x1, X3 = x2) + P(X1 = x1, X3 = x3) \end{eqnarray*}$ Hier bin ich mir jetzt gar nicht sicher, ob das stimmt. Ich freu mich über jede Hilfe!

Grüße

26.11.2012, 22:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von deppensido
Für den Teil: $\begin{eqnarray*} X1 \end{eqnarray*}$ als 1-dimensionale Randverteilung habe ich:

$\begin{eqnarray*} P(X1 = x1) = P(X1 = x1, X2 = x1) + P(X1 = x1, X2 = x2) + P(X1 = x1, X3 = x1) + P(X1 = x1, X3 = x2) + P(X1 = x1, X3 = x3) \end{eqnarray*}$

Eine hübsch lange Formel, aber ohne jeden Sinn und Verstand. unglücklich

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Zunächst mal muss man bei der Wahrscheinlichkeitsformel der Multinomialverteilung

$\begin{eqnarray*} P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, X_3 = x_3) = \frac{n!}{x_1!\cdot x_2! \cdot x_3!} \cdot p_1^{x1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3} \end{eqnarray*}$

dazu sagen, dass die nur für nichtnegative ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=n \end{eqnarray*}$ gilt.

Und bei der gesuchten Randverteilung summiert man bei festem $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ über alle in Frage kommenden Werte $\begin{eqnarray*} x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} P(X_1 = x_1) = \sum\limits_{(x_2,x_3):\,x_2+x_3=n-x_1} P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, X_3 = x_3) = \sum\limits_{x_2=0}^{n-x_1} P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, X_3 = n-x_1-x_2) \end{eqnarray*}$

26.11.2012, 23:11

deppensido

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danke für die schnelle Antwort! Ist die Aufgabe damit schon gelöst, oder muss ich die Summe noch ausrechnen?

Grüße

26.11.2012, 23:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von deppensido
oder muss ich die Summe noch ausrechnen?

Das solltest du tun, da etwas sehr einfaches, und letztendlich logisches Resultat herauskommt.

26.11.2012, 23:47

deppensido

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ich hab jetzt für die Summe raus (UnterAbleitung der gemeinsamen Verteilung):

$\begin{eqnarray*} \frac {n!} {x_1! * (n - x_1)!} * p_1^{x_1} * p_3^{n-x_1} = ~\binom n {x_1} * p_1^{x_1} * p_3 ^{n-x_1} \end{eqnarray*}$ stimmt das so?

Erinnert irgendwie an die Binomialverteilung, wenn man $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ sieht als: $\begin{eqnarray*} 1-p_1 \end{eqnarray*}$ daher logisch find ich.

Grüße

27.11.2012, 08:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von deppensido
ich hab jetzt für die Summe raus (UnterAbleitung der gemeinsamen Verteilung):

$\begin{eqnarray*} \frac {n!} {x_1! * (n - x_1)!} * p_1^{x_1} * p_3^{n-x_1} = ~\binom n {x_1} * p_1^{x_1} * p_3 ^{n-x_1} \end{eqnarray*}$ stimmt das so?

Nicht ganz, aber so ähnlich: Tatsächlich kommt über eine binomische Summe

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{x_1} \cdot p_1^{x_1} \cdot (p_2+p_3)^{n-x_1} = \binom{n}{x_1} \cdot p_1^{x_1} \cdot (1-p_1)^{n-x_1} \end{eqnarray*}$

heraus, was dann wirklich eine Binomialverteilung ist.

27.11.2012, 12:48

deppensido

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erstmal Danke für die Hilfe! Ich denke die Aufgabe ist damit gelöst,
aber wie kommst du von $\begin{eqnarray*} (p_2 + p_3)^{n-x_1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (1 - p_1)^{n-x_1} ? \end{eqnarray*}$

Grüße

27.11.2012, 13:24

HAL 9000

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[attach]26893[/attach]

27.11.2012, 14:22

deppensido

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ah, jetzt versteh ich das. Ist ja total simpel

$\begin{eqnarray*} p_1 + p_2 + p_3 = 1 <=> p_2 + p_3 = 1 - p_1 \end{eqnarray*}$

Da hab ich wohl die Summe übersehen.
Nochmals danke für die Hilfe!

Grüße

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