Markovketten Erwartungswert einer Hitting Time

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Ayudame Auf diesen Beitrag antworten »
Markovketten Erwartungswert einer Hitting Time
Meine Frage:
Guten Abend,

ich habe hier ein Problem und komme leider nicht weiter. In unserer Markovketten Vorlesung soll ich zeigen, dass:

[latex] E_i(\tau^A|X_1=j)=E_j(\tau^A)+1 [\latex] ist wobei [latex] E_i(\tau^A):=\sum\limits_{1\leq n < \infty } nP_i(\tau^A=n)+\inftyP_i(\tau^A=\infty)[\latex] und [latex] P_i(X_n=j)=P(X_n=j|X_0=i)[\latex] und [latex] \tau^A:=\inf\left\{n\geq0, X_n \in A\right\} [\latex].


Meine Ideen:
Ich habe versucht durch geschicktes ausnutzen der Definitionen und der Markoveigenschaft auf den zweiten Erwartungswert zu kommen, jedoch fehlt mir die +1 immer irgendwie.

Folgendes ist der konkrete Ansatz:

[latex] \mathbb{E}_i\left[\tau^A|X_1=j\right]=\sum^\infty_{n=1}\mathbb{P}_i(\tau^A\geq n|X_1=j)=\sum^\infty_{n=1}\mathbb{P}(\tau^A\geq n|X_1=j,X_0=i)=\sum^\infty_{n=1}\left(1-\mathbb{P}(\tau^A<n|X_1=j,X_0=i)\right)\\
=\sum^\infty_{n=1}\left(1-\mathbb{P}(\tau^A<n|X_0=j)\right)= \sum^\infty_{n=1}\mathbb{P}_i(\tau^A \geq n|X_0=j)=\mathbb{E}_i\left[\tau^A\right] [\latex]
ayudame Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovketten Erwartungswert einer Hitting Time
Tut mir leid, ich habe den falschen Querstrich bei Latex verwendet, hier die richtigen Formeln:

Es soll gezeigt werden, dass:


Definitionen sind:




und Ansatz:

ayudame Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovketten Erwartungswert einer Hitting Time
Anmerkungen:

erstes "=" ist eine Proposition aus der VL
viertes "=" ist eine weitere Proposition

und im zweitletzten Term muss das nicht P_i sondern P heißen und im letzten dann E_j statt E_i.

Sorry für die Konfusion!
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