Determinante berechnen

27.11.2012, 14:01

Ahnungslos²

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Determinante berechnen

Meine Frage:
Hey, ich muss für folgende Matrix eine Determinante berechnen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8\\ 2 & 3 & 5 & 6 \\ 2 & 7 & 6 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So wie die Matrix jetzt aussieht weiß ich nicht, wie ich es berechnen könnte. Kann ich die Matrix auch vorher umformen? Also möglichst viele Nullen unter die "Stufe" bringen?

Wenn ja, dann hätte ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8\\ 0 & -1 & -3 & -10 \\ 0 & 0 & -11 & -45 \\ 0 & 0 & 0 & 128\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt könnte ich ja (nach meiner Logik), nach der letzten Zeile auflösen?

Meine Ideen:
-

27.11.2012, 14:05

Dopap

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wenn ich mich recht erinnere, dann ist die Determinante jetzt gerade das Produkt der Diagonale.

27.11.2012, 14:21

Mystic

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Zitat:

Original von Dopap
wenn ich mich recht erinnere, dann ist die Determinante jetzt gerade das Produkt der Diagonale.

Besser gesagt, wäre das Produkt der Diagonalelemente... Das letzte ist aber leider falsch... unglücklich

unglücklich

27.11.2012, 14:52

Aahnungslos

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Was wäre denn richtig ?
Kann man das denn so umformen wie ich es gemacht habe ?

27.11.2012, 15:23

Mystic

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Wie gesagt, du hast am Schluß für die 4. Zeile falsch gerechnet, das letzte Diagonalelement stimmt daher nicht mehr...

27.11.2012, 15:33

Ahnungsloos

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eine 44 müsste dort stehen, kann das sein?

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27.11.2012, 15:39

Mystic

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Wenn ich mich recht entsinne, war es 128/11, kann mich aber auch irren...

27.11.2012, 16:36

rAhnungslos

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hmm war denn der Rest soweit korrekt, es will bei mir nämlich nur 44 rauskommen unglücklich

unglücklich

Darf ich denn überhaupt so umformen?
Könnte ich jetzt nach der letzten Zeile auflösen und so die det der 1. Zeile berechnen?

27.11.2012, 17:06

ahnungslosk

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edit: ich komm doch immer wieder nur auf 128 :-(

28.11.2012, 00:35

Mystic

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Zitat:

Original von ahnungslosk
edit: ich komm doch immer wieder nur auf 128 :-(

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &2 &4 &8\\2 &3 &5 &6\\2 &7 & 6 &1\\3 &1 &1 &2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &2 &4 &8\\0 &-1 &-3 &-10\\0 &3 &-2 &-15\\0 &-5 &-11 &-22 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &2 &4 &8\\0 &-1 & -3 &-10\\0 &0 & -11 &-45\\0 &0 &4 &28 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &2 &4 &8\\0 &-1 & -3 &-10\\0 &0 & -11 &-45\\0 &0 &0 &\frac{128}{11} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 02:11

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1&2&4&8\\ 0&-1&-3&-10\\0&0&-11&-45 \\0&0&4&28\end{vmatrix} =\frac{4}{11}\cdot\begin{vmatrix}1&2&4&8\\ 0&-1&-3&-10\\0&0&-11&-45 \\0&0&11&77\end{vmatrix}= \frac{4}{11}\cdot\begin{vmatrix}1&2&4&8\\ 0&-1&-3&-10\\0&0&-11&-45 \\0&0&0&32\end{vmatrix}= \frac{4}{11}\cdot 11\cdot 32 = 128 \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 09:47

Mystic

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@RavenOnJ

Was genau sollte mit deiner Rechnung bewiesen werden? verwirrt

verwirrt

28.11.2012, 10:56

RavenOnJ

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... dass 128 stimmt. Aber das hattest du ja auch schon gezeigt, allerdings 128/11 geschrieben.

Edit: Gerade noch mal gelesen, du meintest ja nur die 4. Zeile, sorry. Es war halt spät ...

28.11.2012, 11:29

Mystic

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Edit: Gerade noch mal gelesen, du meintest ja nur die 4. Zeile, sorry. Es war halt spät ...

Ja tatsächlich, es ging um die 4.Zeile... Freude

Freude

Inzwischen habe ich in detektivischer Kleinarbeit auch herausgefunden, welchen Denkfehler der Threadersteller hier gemacht hat... Er hat in dieser Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &2 &4 &8\\0 &-1 & -3 &-10\\0 &0 & -11 &-45\\0 &0 &4 &28 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

um auf "seine" 4.Zeile zu kommen, de 3.Zeile mit 4 und die 4.Zeile mit 11 multiplziert und daraus die Summe gebildet... Damit wird natürlich dann der Wert der Determinante, wenn man einfach alle Diagonalelemente aufmultipliziert, um genau den Faktor 11 zu groß... geschockt

geschockt

28.11.2012, 12:42

NmAhnungslos

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Super!
Ich bin gestern noch allerin auf die Lösung gekommen. Ich hatte tatsächlich noch die letzte Zeile weiter auflösen wollen und daher mal 11 gerechnet.

Den Schritt hab ich dann weggelassen, weil ich ja eigentlich schon genügend 0-en hatte und siehe da: die Determinante ist 128!

Danke!

28.11.2012, 13:14

Mystic

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Zitat:

Original von NmAhnungslos
Ich hatte tatsächlich noch die letzte Zeile weiter auflösen wollen und daher mal 11 gerechnet.

Ich verstehe zwar noch immer nicht, was du hier mit "letzte Zeile weiter auflösen wollen" genau meinst (dagegen wäre ja schließlich nichts einzuwenden, wenn man's richtig macht, d.h., den Wert der Determinante dadurch nicht verändert!) , aber da am Ende nun auch bei dir das Richtige herauskommt, wollen wir mal lieber nicht weiter nachfragen... Wink

Wink

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