Dichtefunktion bestimmen

10.02.2007, 23:22	schueler2	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion bestimmen Hi, ich habe folgende tabelle und soll dazu die dichtefunktion bestimmen: Aufgabe: 300 glühbirnen wurdem einem dauertest unterzogen. es ergaben sich die folgenden messergebnisse: Zeitdauer in h: Anzahl der fuktionierenden glühlampen 0 300 40 243 80 207 120 164 160 137 200 112 240 95 280 79 320 62 360 51 400 43 440 34 480 29 520 27 560 23 600 19 640 18 680 14 720 10 760 7 800 5 Ich weiß nur, dass es eine exponentialverteilung ist und habe den ansatz: f(x)=ae^(-ax) ich weiß aber nicht wie ich das "a" rausbekommen soll. könnt ihr mir da vllt helfen?? danke!!!
11.02.2007, 19:06	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichtefunktion bestimmen Hallo! Ganz allgemein kommt für dein Problem ein (nichtlinearer) Regressionsansatz in Frage. Allerdings bekommst du bei deinen Daten eine miserable Anpassung an die Exponentialverteilung wegen den Sprüngen in der Zeitdauer (40h-Schritte, die exponenziert werden). Wenn du einen allgemeinen Regressionsansatz der Form $\begin{eqnarray} f(x)=a\cdot e^{-b\cdot x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{\text{Anzahl der funktionierenden Glühlampen}}{300} \end{eqnarray}$ wählst, bekommst du eine weitaus bessere Anpassung mit $\begin{eqnarray} f(x)=0,988732\cdot e^{-0,004747x} \end{eqnarray}$ bei einem $\begin{eqnarray} R^2=0,991813 \end{eqnarray}$ . Da aber die Exponentialverteilung nur einen Parameter kennt, muss du die Zeiteinheit entsprechend umnormieren, die Koeffizienten stehen in dem Verhältnis $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}=208,293579 \end{eqnarray}$ . Wenn du nun die Zeiteinheit hiermit dividierst, erhältst du die Exponentialverteilung mit $\begin{eqnarray} \lambda=0,988732 \end{eqnarray}$ , wobei ein Schritt auf der Abszisse für 208,293579h steht. (Das Ganze ginge natürlich auch exakt umgekehrt.)
11.02.2007, 19:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Frage ist: Dichtefunktion wofür ? Aus dem Sachverhalt heraus geht es wohl um die Dichtefunktion der Zufallsgröße $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ... Lebensdauer einer Glühlampe Bei Exponentialverteilung, die du als Modell angegeben hast, gilt für die entsprechende Dichte $\begin{eqnarray} f_T(x) = \begin{cases} ae^{-ax} & \;\mbox{für}\; x\geq 0\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ , bzw. für die zugehörige Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_T(x) = P(T\leq x) = \begin{cases} 1-e^{-ax} & \;\mbox{für}\; x\geq 0\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . ------------------------------- Nun zur Schätzung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ : Die absoluten Häufigkeiten der rechten Spalte deiner Tabelle werden zu relativen Häufigkeiten, wenn man sie jeweils durch die Gesamtzahl 300 der Probanden dividiert. Diese relative Häufigkeit $\begin{eqnarray} h(x) \end{eqnarray}$ zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ entspricht dann gerade einer Schätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühlampe mindestens die Lebensdauer $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ hat, also für die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(T\geq x) = 1-P(T<x) = 1-(1-e^{-ax}) = e^{-ax} \end{eqnarray}$ . Nun könnte man aus jedem Zeitpunkt ein anderes $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ schätzen, was natürlich nicht besonders klug wäre. Besser ist es, das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ z.B. durch Regression zu schätzen... Aber es gibt jetzt verschiedene Varianten, zu einer Schätzung (bzw. Schätzungen (!)) von Parameter $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ zu gelangen, deswegen könntest du erstmal verraten, ob ihr nicht doch noch etwas mehr Information über das Vorgehen bei dieser Aufgabe mitbekommen habt! EDIT: Hab den Beitrag von Zahlenschubser zu spät gesehen, da hatte ich alles schon getippt - macht aber nix, denn mein Vorgehen ist ja doch etwas anders.

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