Funktionsbestimmung mit einigen Randbedingungen

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zeusel-weusel Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsbestimmung mit einigen Randbedingungen
Meine Frage:
Hallo,

ich möchte eine Funktion erstellen, welche bestimmte Randbedingungen erfüllt. Leider hänge ich schon länger an dieser Frage fest und weiß nicht so recht weiter.

Also:

Die Funktion liegt zwischen 0 und r1

Die Funktion muss durch die Punkte
- P1(0/h3)
- P2(r1/h1)
- P3(r2/h2)
laufen.

Das Volumen soll konstant bleiben wenn die entstehende Fläche unter der Funktion um die y-Achse rotiert wird. Dabei wird das Volumen aus der Masse und der Dichte bestimmt.

Die Steigung sollte im Punkt P1 gleich Null sein.

Die Höhen h1 und h2 sollen variabel bleiben; für spätere Anpassungen


Ich hoffe, jemand hat das Ganze verstanden und weiß eine Lösung!!

Meine Ideen:
Erster Gedanke war eine quadratische Funktion, allerdings bekomme ich dann nicht alle Randbedingungen untergebracht. Eine Funktion höherer Ordnung führt zu zusätzlichen Hochpunkten und Tiefpunkten zwischen 0 und r1, was nicht sein soll :-D Dadurch, dass die Steigung im Punkt P1 gleich Null sein soll, müsste meiner Meinung nach der Faktor vor dem x^1 gleich Null sein.

Übrigens: Was links des Punktes P1 und rechts von P2 passiert ist mir egal. Wichtig ist der dargestellte Verlauf zwischen 0 und r1.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Rotationskörper besteht also aus einer plankonvexen "Linse" und einem Zylinder, wobei die Linse die mit der ebenen Seite auf einen Zylinder geklebt wurde. Die Rechnung wird einfacher, wenn du die gesuchte Funktion r(x) um die x-Achse rotieren lässt. Die Nebenbedingungen für die gesuchte Funktion r(x) lauten dann etwas anders:

(1) Für die Ableitung bei x=0 gilt .
(2) mit variablem x1 und festem r1
(3) mit variablem x2 und festem r2
(4) Die Höhe der Linse in x-Richtung beträgt x2 und ist variabel.
(5) Die Höhe des Zylinders beträgt L-x2. Dabei ist L die Länge des gesamten Körpers in x-Richtung (Linse+Zylinder).

Das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Drehung einer Funktion r(x) im Intervall [0;h] um die x-Achse entsteht, lautet allgemein . Für unseren zusammen gesetzten Körper (Linse+Zylinder) ergibt das



Da derAnstieg der gesuchten Funktion r(x) bei x=0 unendlich sein soll, würde ich zunächst mit Potenzfunktionen experimentieren, wobei für den Exponenten gelten muss . Für ergibt sich z.B. die Wurzelfunktion . Den Faktor A kann man übrigens noch als x-abhängige Funktion betrachten, um mehr Freiheitsgrade zur Anpassung der Nebenbedingungen zu bekommen, also



Setze z.B. folgende Funktion an, deren Ableitung wie gefordert an derStelle x=0 unendlich ist.



Die Nebenbedingungen Nr. 2 und Nr. 3 ergeben dann folgendes Gleichungssystem für die Parameter m, n




Quadrieren beide Glechungen und löse das System nach m,n auf usw.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Da derAnstieg der gesuchten Funktion r(x) bei x=0 unendlich sein soll, würde ich zunächst mit Potenzfunktionen experimentieren, wobei für den Exponenten gelten muss . Für ergibt sich z.B. die Wurzelfunktion .


Aber er soll doch nicht unendlich, sondern 0 sein. verwirrt

Zitat:
Original von zeusel-weusel

Die Steigung sollte im Punkt P1 gleich Null sein.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Soll die Lösung exakt sein, oder reicht eine Approximation? Wenn eine Näherung reicht, dann könntest du es ja mal mit einem Potenzreihenansatz probieren, der nur gerade Potenzen enthält. Die Koeffizienten wären dann Funktionen deiner Parameter.

Soll die Funktion in dem Bereich monoton fallend sein? Ich habe den Eindruck, dass es noch weitere Nebenbedingungen gibt, die du nicht aufgeschrieben hast, da du selber schriebst:

Zitat:
Original von zeusel-weusel
Eine Funktion höherer Ordnung führt zu zusätzlichen Hochpunkten und Tiefpunkten zwischen 0 und r1, was nicht sein soll :-D


Übrigens: Das gehört nicht zur Algebra, eher zur Analysis oder Numerik.
zeusel-weusel Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von RavenOnJ
Soll die Lösung exakt sein, oder reicht eine Approximation? Wenn eine Näherung reicht, dann könntest du es ja mal mit einem Potenzreihenansatz probieren, der nur gerade Potenzen enthält. Die Koeffizienten wären dann Funktionen deiner Parameter.

Soll die Funktion in dem Bereich monoton fallend sein? Ich habe den Eindruck, dass es noch weitere Nebenbedingungen gibt, die du nicht aufgeschrieben hast, da du selber schriebst:

Also ja .. Sie sollte möglichst fallend sein, da ich eben gerade keine weiteren Maximal- oder Minimalstellen zwischen 0 und r1 haben möchte, außer halt bei x=0. Meine Idee war auch schon, dass alle ungeraden Exponenten herausfallen, so dass ich es halt achsensymmetrisch bekomme. Problem ist dann eben nur dass ich dann durch die Volumenerhaltung Extremstellen in dem beschriebenen Bereich bekomme. Im Endeffekt soll die Funktion wie auf dem Bild aussehen (eben mit der Möglichkeit, h1 und h2 bei konstantem Volumen ändern zu können). Mit dieser Funktion könnte ich dann beliebig viele Punkte zwischen den anderen Punkten errechnen lassen und mit Linien verbinden lassen, da ich das Programm Ansys verwende und ein direktes Plotten dort nicht möglich ist. Nur funktioniert das leider nicht mit den zusätzlichen Extremstellen.

Ich hatte auch versucht, mit zu rechnen und an dem Punkt P2 einen Wendepunkt anzunehmen (dann hätte ich das Problem mit den weiteren Extremstellen nicht). Nur bekomme ich dann die Höhe h1, h2 und das Volumen nicht mehr richtig unter, weil 4 Gleichungen und 3 Unbekannte.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm doch noch höhere Potenzen in deine Potenzreihe dazu. Warum bei P2 ein Wendepunkt? Was soll das bringen?

Vielleicht könntest du auch mit der Umkehrfunktion rechnen, dann sollte deine Nebenbedingung "konstantes Volumen" einfacher unterzubringen sein.

Edit:
Das war ja wohl auch die Idee von Ehos, deswegen sein Ansatz mit der Wurzelfunktion.
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ
Mein Vorschlag war, die Skizze um 90° zu drehen, so dass die Funktion nicht um die y-Achse, sondern um die x-Achse rotiert. Das vereinfacht die Rechnung.

Ich habe das mal durchgerechnet:
Lässt man den Ansatz mit a,b>0 um die x-Achse rotieren, entsteht als Rotationskörper eine plankonvexe "Linse". Die beiden freien Parameter a, b müssen so gewählt werden, dass deine Nebenbedingungen und erfüllt werden, wobei vorgegeben waren. Eine Gleichungssystem führt auf die Parameter a, b, so dass wir mit dem obigen Ansatz auf folgende Funktion kommen



Beispiel:
Fordert man z.B. die Funktionswerte und , so liefert die obge Funktion diese Werte, wenn man für folgende Peispiel-Paare einsetzt:

oder oder

Nun ist es nicht mehr schwer, das Volumen der "Linse" zu berechnen mit der allgemeinen Formel.



Setze hier die obige Funktion r(x) ein und betrachte nach der Berechnung des Volumens als freie Parameter, um z.B. den Extermwert des Volumens zu berechnen o.ä.
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