Beweis Konvergenz einer rekursiven Folge

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Mai Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Konvergenz einer rekursiven Folge
Meine Frage:
Hallo,

ich brauch bei folgender Aufgabe etwas Hilfe:

Sei eine Folge rekursiv definiert durch
mit
Zeigen Sie, dass konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Meine Ideen:
Ich wollte dazu das Monotoniekriterium anwenden und zeigen, dass die Folge beschränkt und monoton wachsend ist (das ist sie doch, oder?). Dazu muss ich ja eigentlich die vollständige Induktion anwenden, aber ich weiß einfach nicht, wie der Induktionsanfang aussehen soll, da ich ja keinen festen Wert habe, sondern nur die Angabe .

Wenn ich jetzt also z.B. zeigen will, dass die Folge monoton wachsend ist, kann ich zwar sagen , aber wie beweise ich den Induktionsanfang ohne festen Startwert?

Es wäre echt nett, wenn ihr mir das sagen könntet, dann komm ich ganz bestimmt weiter.

Danke im Voraus. smile
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo


nehmen wir an (was man noch zeigen muss), dass die Folge monoton wächst und das sie beschränkt ist.

wenn für ein gilt, dann ist schon alles gezeigt. Das gilt dann nämlich für alle . Die Folge kann nichts anderes machen als nur wachsen.



Viele Grüße
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Konvergenz einer rekursiven Folge
Zitat:
Original von Mai
Ich wollte dazu das Monotoniekriterium anwenden und zeigen, dass die Folge beschränkt und monoton wachsend ist (das ist sie doch, oder?).


Das solltest du dir noch mal überlegen. Betrachte mal ein großes , z.B. 98, und ein kleines , z.B. 1.

Zitat:

Dazu muss ich ja eigentlich die vollständige Induktion anwenden, aber ich weiß einfach nicht, wie der Induktionsanfang aussehen soll, da ich ja keinen festen Wert habe, sondern nur die Angabe .

Wenn ich jetzt also z.B. zeigen will, dass die Folge monoton wachsend ist, kann ich zwar sagen , aber wie beweise ich den Induktionsanfang ohne festen Startwert?


Vielleicht stimmt die Montonie ja, aber die Richtung ist vom Anfangswert abhängig!?
Mai Auf diesen Beitrag antworten »

@Christian: Danke, diese Rechnung war sehr hilfreich. smile Und damit ist die Monotonie für diese Aufgabe wirklich schon bewiesen?

@RavenOnJ: Könntest du das noch etwas genauer erklären? Ich weiß leider nicht, was du meinst. In den Uni-Übungen wurde diese Art von Aufgaben ausschließlich mit vollständiger Induktion gelöst, deshalb bin ich davon ausgegangen, dass das hier auch wieder der Fall sein muss.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

, andererseits, . Also ist nicht generell monoton steigend.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst aber beweisen, dass folgendes gilt:

Mai Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der Beweis funktioniert dann immer noch mit vollständiger Induktion, oder?
Dann stehe ich allerdings wieder am Anfang des Problems: Wie beginne ich den Induktionsanfang, wenn nur a1>0 gegeben ist? Oder funktioniert der Vorschlag von Christian_P immer noch?

Tut mir leid, dass ich so oft nachfrage, aber ich komme mit dem Thema einfach nicht klar. Das Ganze ist mir zu abstrakt, ich weiß schlicht und ergreifend nicht, was ich mit den Angaben anfangen kann...
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mai
@Christian: Danke, diese Rechnung war sehr hilfreich. smile Und damit ist die Monotonie für diese Aufgabe wirklich schon bewiesen?

Hi

Die Monotonie müsste man noch (allgemein) zeigen. Zusammen mit der passenden Anfangsbedingung für ergibt soch dann durch Induktion, dass die Folge monoton wächst.


Stimmt, es gilt nicht für beliebiges , das hatte ich nicht gleich gesehen.




Grüße
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Abstrakt? Das ist doch alles sehr konkret hier. Wenn du es wirklich abstrakt sehen willst, dann vielleicht in einem derartigen Satz:

Zitat:
Es sei sowie eine Funktion gegeben.

Dann wird durch sowie eine Folge mit Wertbereich (d.h. insbesondere "reell") definiert.

a) Ist streng monoton wachsend und , so ist streng monoton wachsend. Ist nach oben beschränkt, ist die Konvergenz dieser Folge gesichert.

b) Ist streng monoton wachsend und , so ist streng monoton fallend. Ist nach unten beschränkt, ist die Konvergenz dieser Folge gesichert.

c) Ist stetig sowie die Folge konvergent mit Grenzwert , so muss ein Fixpunkt von sein, d.h. es gilt .

Der Beweis dieser Abstrahierung ist übrigens auch nicht schwieriger als der zu Aufgaben mit konkreten , wie es hier mit auf bzw. sogar vorliegt. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh nicht, warum bei solchen Aufgaben immer dieser total bescheuerte Nachweis der Konvergenz über Beschränktheit+Monotonie herhalten muss... verwirrt

Gerade in diesem Fall geht es doch viel einfacher so



woraus nicht nur die Konvergenz der Folge, sondern auch gleich der Grenzwert 2 folgt...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Punkt "d) Kontraktion" hätte ich natürlich auch noch mit aufnehmen können - war aber so schon "überladen". Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Ich versteh nicht, warum bei solchen Aufgaben immer dieser total bescheuerte Nachweis der Konvergenz über Beschränktheit+Monotonie herhalten muss... verwirrt


weil das für Anfänger am ehesten zu verstehen ist. Dass es bei Kontraktion einen Fixpunkt gibt, ist vermutlich nicht so einfach zu sehen.
Mai Auf diesen Beitrag antworten »

Das war zwar ein netter Exkurs, hilft mir aber leider nicht weiter. Kommen wir bitte wieder zu meiner Frage zurück.
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne als Anfänger (zweites Semester) auch nur das Prinzip der monotonen Folgen. Ich finde es recht anschaulich. Leider kann mit diesem Prinzip nur die Existenz des Grenzwertes gesichert werden. Es ist nicht konstruktiv.

Grenzwertbildung durch Iterration, wie schon angesprochen, wäre das Mittel der Wahl. Das hatte ich aber bis jetzt noch nicht.

Viele Grüße
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
weil das für Anfänger am ehesten zu verstehen ist. Dass es bei Kontraktion einen Fixpunkt gibt, ist vermutlich nicht so einfach zu sehen.

Also ich ergänze meinen obigen Kommentar noch um



Immer noch dieser Meinung? Augenzwinkern
Mai Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber mir ist die Umformung überhaupt nicht klar:

1.) Wie kommst du von auf um.

2. Wie folgerst du daraus ?

3.) Wo kommt das im letzten Term her?

Ob ich jedoch die Variante mit dem Monotoniekriterium verstehen würde, bleibt mal dahingestellt. Das kommt wohl auf die Erklärung an.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

ad 1) Das ist die dritte binomische Formel mit "geeigneten" Werten von a und b...

ad 2) Ich lass die (nichtnegative) Wurzel im Nenner weg und nehme außerdem Absolutbeträge...

ad 3) Durch wiederholte Anwendung der Ungleichung (genauer durch Induktion nach n)...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von RavenOnJ
weil das für Anfänger am ehesten zu verstehen ist. Dass es bei Kontraktion einen Fixpunkt gibt, ist vermutlich nicht so einfach zu sehen.

Also ich ergänze meinen obigen Kommentar noch um



Immer noch dieser Meinung? Augenzwinkern


Ich nehme nicht an, dass auf diese Weise im 1. Semester Konvergenz gezeigt wird. deswegen kann ich nicht beurteilen, ob dies für einen Anfänger verständlich genug ist, denn Anfänger wollen i.d.R. Rezepte aus der Vorlesung anwenden. Für mich ist es einfach, aber das gilt nicht. Ich denke mal, dass für jemanden mit einer gewissen mathematischen Vorbildung, sagen wir mal etwa 2. bis 3. Semester, die Sache natürlich trivial ist. Aber kannst du dich in jemanden reinversetzen, der im 1. Semester sich mit Mathe beschäftigt und möglicherweise noch nicht mal Mathematik studiert, sondern vielleicht Biologie? Ich vermute, nein. Ich kann es auf alle Fälle nicht wirklich.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Na, dann schauen wir halt einfach mal, was der Threadersteller dazu sagt... Augenzwinkern
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin gerade auch im ersten Semester und wie es ausschaut ein Kommilitone vom Threadersteller. Richtig ist, dass wir im Tutorium die Konvergenz von rekursiven Folgen nur mit dem Monotoniekriterium nachgewiesen haben. Ich bin Mystic aber dankbar dafür, dass er den alternativen Weg vorgeschlagen hat. Ich kann jetzt zwar nur für mich sprechen, aber ich denke, dass der Weg auch für Erstsemestler problemlos nachvollziehbar sein sollte. Das schwierige ist ja oft nur selbst draufzukommen. Jedenfalls kann man sich damit die Fallunterscheidung , sparen und der Grenzwert wird einem auch gleich geschenkt.

Gruß Shipwater
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu betonen ist aber, dass diese Kontraktionsmethode auch kein Allheilmittel ist. Nehmen wir etwa die sehr langsam konvergierende Nullfolge

,

dann existiert kein Kontraktionsfaktor mit für alle , der Weg über Monotonie+Beschränktheit klappt aber. Weswegen ich mangels Alternative in solchen Fällen dieses Statement

Zitat:
Original von Mystic
dieser total bescheuerte Nachweis der Konvergenz über Beschränktheit+Monotonie

nicht unterschreiben würde. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich wollte damit nur - auf zugegebenermaßen sehr drastische Weise, wie es eben meinem Naturell entspricht - meinen Standpunkt darlegen, dass man nicht schon fast reflexhaft - wie die Pawlowschen Hunde beim Ertönen des Glockensignals - sich sofort daran macht, die Folge nach Beschränktheit und Monotonie zu untersuchen, wenn es auch andere brauchbare ALternativen gibt... Falls Letzeres nicht zutrifft oder zu mühsam/ außerhalb der Möglichkeiten des Threaderstellers ist (dieser Punkt bedarf hier noch einer Klärung!), dann stellt sich diese Frage ohnehin nicht... Augenzwinkern

@shipwater

Danke für deinen Kommentar, der doch zeigt, dass ich mit meiner Vermutung, dass dieser Weg durchaus noch verständlich und gangbar ist, nicht so ganz falsch lag... Augenzwinkern
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic
... aber wie shipwater auch schrieb, "das schwierige ist ja oft nur selbst draufzukommen". Viele Erstsemester dürften mit sowas überfordert sein.

Du hast allerdings recht, dass in diesem Fall dein Weg der elegantere ist, da er beide Fliegen auf einmal erschlägt. Augenzwinkern
Mai Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic: Ich habe deinen Rechenweg letztendlich verstanden. Allerdings wäre ich allein nicht auf diesen Weg gekommen. Jedoch bin ich von allein auch nicht darauf gekommen, wie der Beweis mit dem Monotoniekriterium funktioniert. Deshalb bedanke ich mich für deinen (in diesem Fall wirklich eleganteren) Lösungsweg. smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen... Soviel Zustimmung am Ende hätte ich jetzt gar nicht erwartet, daher freue ich mich umso mehr darüber... Augenzwinkern
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