Basis von linearen Unterraum finden

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Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von linearen Unterraum finden
Hallo,

ich habe zwar ungefähr verstanden was eine Basis ist, jedoch kann ich aus meinem Vorlesungsskript nicht schließen wie man diese Aufgabe löst. Deswegen hoffe ich es kann mir hier jemand helfen smile


"Man finde eine Basis für den linearen Unterraum des -Vektorraums , wobei ."

Wie finde ich so eine Basis?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von linearen Unterraum finden
Wie ist denn eine Basis definiert?

Du hast einen Unterraum und ein Erzeugendensystem, was muss man also noch machen?
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Wie ist denn eine Basis definiert?


Also wenn ich das richtig verstanden habe ist eine Basis von V, ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. (und auch das "kleinste" Erzeugendensystem?)

Zitat:

Du hast einen Unterraum und ein Erzeugendensystem, was muss man also noch machen?


Zeigen dass das Erzeugendensystem linear unabhängig ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tenacious
"Man finde eine Basis für den linearen Unterraum des -Vektorraums , wobei ."

Ich vermute mal, daß gemeint ist.

Zitat:
Original von Tenacious
Also wenn ich das richtig verstanden habe ist eine Basis von V, ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. (und auch das "kleinste" Erzeugendensystem?)


Richtig.

Zitat:
Original von Tenacious
Zeigen dass das Erzeugendensystem linear unabhängig ist?

Im Prinzip ja. Falls das aber nicht so ist, mußt du die linear abhängigen Vektoren rauswerfen. Am besten geht das, wenn du die Vektoren zeilenweise in eine Matrix schreibst und diese auf Zeilenstufenform bringst.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit

Ich vermute mal, daß gemeint ist.


Ups, ja.


Zitat:
Im Prinzip ja. Falls das aber nicht so ist, mußt du die linear abhängigen Vektoren rauswerfen. Am besten geht das, wenn du die Vektoren zeilenweise in eine Matrix schreibst und diese auf Zeilenstufenform bringst.


Ich kann mir das grad irgendwie nicht vorstellen. Wie soll die Matrix aussehen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie prüft man denn Vektoren auf lineare unabhängigkeit?
 
 
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn aus dem Gleichungssystem:



folgt dass, die einzige Lösung ist.

Bin ich dann schon fertig wenn ich das gezeigt habe?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das zeigen kannst, dann bist du fertig.

Welche Matrix entsteht denn aus dem LGS?
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Welche Matrix entsteht denn aus dem LGS?


Eine erw. Koeffizientenmatrix:

Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Doppelpost, aber egal wie ich es drehe und wende, bei einer Zeile kommt immer 0 = 0 raus. Was bedeutet das für die Vektoren?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

entweder erweiterte Matrix oder Koeffizientenmatrix, wir bleiben einmal, da der Lösungsvektor der 0 Vektor ist bei der Koeffizientenmatrix.

Bringe diese auf Zeilenstufenform.

Oder nimm die Transponierte, dann siehst du acuh gleich, welche Vektoren man streichen kann.

Edit: Okay, noch mal ganz langsam...

Wenn eine Nullzeile bei deiner erweiterten Matrix entsteht, dann bedeutet das doch, dass du eine Unbekannte frei wählen kannst....
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu

Wenn eine Nullzeile bei deiner erweiterten Matrix entsteht, dann bedeutet das doch, dass du eine Unbekannte frei wählen kannst....


Also hängen die anderen Unbekannten von der frei wählbaren ab?

Aber was sagt mir das jetzt über die Unabhängikeit aus? Und wieso kann ich Vektoren streichen?

Ich glaub ich verwirr mich grad selber...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Also, du hast ein Erzeugendensystem gegeben.

Dieses prüfst du auf lineare Unabhängigkeit durch Lösen eines LGS.

Du merkst, es entsteht eine Nullzeile, also kann eine Unbekannte frei gewählt werden.

Du erhälst die anderen Unbekannten in Abhängigkeit des frei wählbaren Parameters.

Das bedeutet, die Vektoren sind linear abhängig.

Um aus dem Erzeugendensystem nun eine Basis zu erhalten muss also mindestens ein Vektor herausgenommen werden, damit es minimal wird.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Ok so weit kann ich folgen.
Wie finde ich nun den Vektor der herausgenommen werden muss? Durch probieren?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch die Transponierte der Koeffizientenmatrix nehmen, sprich die Vektoren des Erzeugendensystems als Zeilen schreiben.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich aber einen Vektor herausnehme, dann hat doch die Basis nur 3 Elemente und die Anzahl der Elemente muss doch gleich sein mit der Dimension? Oder versteh da grad was falsch?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren spannen einen Unterraum des auf, welche Dimension der hat wissen wir doch erst, wenn wir eine Basi gefunden haben......
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Die Vektoren spannen einen Unterraum des auf, welche Dimension der hat wissen wir doch erst, wenn wir eine Basi gefunden haben......


Ja stimmt...Denkfehler.


Also wenn ich und die Nullzeile Streiche bleibte eine 3x3 Koeffizientenmatrix über mit der ich dann ganz normal weiter rechne, richtig?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Wieso denn 3x3 Matrix? und was willst du weiter rechnen? und was willst du zusätzlich zu dem Vektor noch streichen?

Mach doch einmal vor, was du bisher getan hast und wie du weiter machen möchtest.
Tenacious Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die Koeffizientenmatrix:


Nach ein wenig Umformerei komme ich irgendwann auf:



Und wenn ich nun streiche ist es doch bloß noch die folgende Matrix:


Und nun würde ich ganz normal jeweils die Unbekannten herausfinden (vorausgesetzt ich bin nicht völlig auf dem Holzweg).
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Raum ist 4-dimensional, also müssen deine Vektoren auch 4 Dimensionen haben, nicht drei. Es sei denn, eine Dimension könnte man ignorieren. Kann man hier aber nicht.

Außerdem sind die Spalten deine Vektoren, du musst dich also auch bei deinen Transformationen im Raum der Spaltenvektoren bewegen, nicht im Raum der Zeilen. (Es geht ja nicht nur darum, zu zeigen, dass die Determinante 0 ist, denn dann wäre es egal, ob man Spalten oder Zeilen transformiert.)

Wenn du statt den Spaltenvektoren die Zeilenvektoren betrachtest, so hast du zwar wieder eine lineare Abhängigkeit, die Vektoren repräsentieren aber i.d.R. einen anderen Unterraum.

Nimm mal als Beispiel . Diese sind linear voneinander abhängig, da . Sie spannen den 3-dimensionalen Unterraum mit der 4. Komponente =0 auf. Wenn du aber dazu im Gegensatz den Raum der Zeilenvektoren nimmst, also , dann spannen diese einen ganz anderen 3-dimensionalen Unterraum auf. Um eine Basis im Unterraum der zu finden, kannst du nicht im Unterraum der arbeiten.
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