Basis im Vektorraum |
28.11.2012, 13:47 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Basis im Vektorraum habe hier Probleme mit einer Aufgabe: Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und eine Basis von V. Für sei Zeigen Sie. Ist mit , so ist wieder eine Basis von V. Ich hab die Logik dieser Aufgabe noch nicht durchschaut und weiß auch nicht wie ich anfangen soll. Bitte um Hilfe! |
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28.11.2012, 13:49 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moin, was zeichnet denn eine Basis aus? Was gilt für die ? Was muss dann also für die neue Basis gelten? |
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28.11.2012, 14:08 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja eine Basis ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem und jedes v lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus der Basis darstellen! Für die neue Basis muss das gleiche gelten? |
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28.11.2012, 14:17 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Drück das mal in Formeln aus (lieber mit Linerakombination ergibt Nullvektor, aber eigentlich ist das das gleiche). |
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28.11.2012, 14:23 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie meinst du das? Das verwirrt mich gerade. Das mit Nullvektor. Ich kenne jetzt nur den Satz: Vektoren lassen sich als Linearkombination von den Vektoren der Basis darstellen. Sorry |
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28.11.2012, 14:42 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das dürfte ein Satz sein. Die ursprüngliche Definiiton sieht anders aus: Klick. Soll vielleicht gerade das Lemma bewiesen werden, als Übungsaufgabe? Falls der Beweis schon in deinen Unterlagen steht, ist das quasi nur abschreiben. |
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29.11.2012, 14:57 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könnten wir einfach nochmal zu dieser Stelle zurückkommen und diesen Beweis vergessen? Wie meinst du das mit Linearkombi ergibt Nullvektor? |
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29.11.2012, 21:10 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast du meinen Link angeklickt? Dort wird es eigentlich recht klar definiert ... |
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30.11.2012, 10:43 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe es an sich verstanden. Das ist unser Zu zeigen: |
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30.11.2012, 11:26 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum sollte das w gleich Null sein? Kann es gar nicht, denn die bilden ja eine Basis ... Und die Vorfaktoren sollen ungleich Null sein. Also noch mal: Du weißt, dass eine Basis ist. Was folgt daraus (nach der ursprünglichen Definiiton, die hoffentlich in deinen Unterlagen zu finden ist)? Dass aus der Gleichung folgt, dass alle . Andere Möglichkeiten für die Koeffizienten gibt es nicht. Das können wir nutzen. Jetzt wird das w neu definiert. Und soll wieder eine Basis sein. Was ist zu zeigen? Dass aus der Gleichung folgt, dass alle Koeffizienten Null sind. Du kannst nun w einsetzen und nach Vektoren sortieren (die kommen ja mehrfach vor) ... Schreibe das als Summe, wo jedes nur einmal vorkommt (mit zwei Koeffizienten als Vorfaktor, ausklammern ist also das Stichwort). |
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30.11.2012, 11:49 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups das = 0 war ein Versehen. Ja bis dahin hab ich alles verstanden. Ich wusste, dass das nicht ganz richtig ist, nur das die Idee stimmt. Mich hab nur diese verwirrt Okay dann versuch ich das jetz mal ______________________________
Ich verstehe nicht ganz wie du das meinst. kommt nur einmal vor bei diesen: Also: Aber warum nur 2 Koeffizienten? Ich bin verwirrt Edit (Cel): Doppelposts zusammengeführt. Bitte editiere, wenn du in kurzer Zeit etwas nachzutragen hast. |
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30.11.2012, 12:37 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da steht zum Beispiel das zwei Mal da. Wenn wir anfangen umzusortieren, steht da Warum? Weil vorne steht und hinten, in der Summe, die w beschreibt, steht . Nach der Logik kannst du das mit jedem machen. Letzendlich steht dann jedes nur einmal da. Mit einem Koeffizienten, der aus aus einer Summe besteht. So weit vielleicht erst mal. Vielleicht klappt es ja auch in der Summenschreibweise, dann fallen die ganzen Pünktchen weg. |
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30.11.2012, 15:42 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay sorry, werd ich machen... Dann das : So in etwa? Aber wie kann ich zusammenfassen? Im Prinzip ist doch für k=2 auch |
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30.11.2012, 17:42 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du hier als Index n statt k wählst, ist alles gut. Das k ist in der Aufgabenstellung ja fest. Und ich sehe gerade, dass die Dimension des VR r ist, nicht n. Korrekt wäre demnach: Schreib dir beide Summen noch mal hin, wenn du das nicht siehst. Ich denke, dich hat die doppelte Nutzung von k irritiert. Was nun? Der Ausdruck muss 0 sein, und darauf muss folgen, dass alle Koffizienten 0 sind. Die MÜSSEN gleich 0 sein. Warum? |
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02.12.2012, 23:05 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah ja ok. Habs verstanden! Ja die müssen gleich 0 sein, damit unsere Vektoren linear unabh. sind. Aber wie beweise ich nun, dass sie = 0 sind? Ich weiß, dass |
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03.12.2012, 20:22 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmmmm ... Was sind denn die ? Was folgt daraus? |
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04.12.2012, 13:09 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die sind natürlich Somit muss sein! Sind wir jetzt komplett fertig? |
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04.12.2012, 15:18 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was? Die sind zwar Ungleich Null, aber das bringt nichts ... Nein, die bilden eine Basis! Und was folgt dann für jeden Koeffizienten (egal, wie man den darstellen kann)? |
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04.12.2012, 16:01 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die eine Basis bilden, folgt für die Koeffizienten, dass sie alle gleich sind? |
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04.12.2012, 16:08 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Und somit hast du dann gezeigt, dass auch die neue Menge eine Basis ist. Weil man eine Linearkombi auf die alte Basis mit neuen Koeffizienten (die ) umschreiben kann. Dann können wir bekannte Informationen nutzen. |
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04.12.2012, 16:29 | MatheNoobii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahhhh sooo ist das! Jetzt hab ich verstanden, dankeschön!! |
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