Lösungen einer Gleichung (komplexe Zahlen)

28.11.2012, 19:00

baba2k

Lösungen einer Gleichung (komplexe Zahlen)

Hallo zusammen,

ich sitze seit zwei Tagen an einer Aufgabe und komme einfach
nicht auf den richtigen Lösungsweg:

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl.
(i) Gebeben Sie die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z_0=\alpha-\alpha i \end{eqnarray*}$ in Polardarstellung.
Das ist mir noch klar: $\begin{eqnarray*} z_0=\sqrt{2}\alpha \cdot e^{\frac{7}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$

(ii) Wie lauten die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2-8iz=16+z_0 \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} z^2-8iz=16+\alpha-\alpha i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^2-8iz-16-\alpha+\alpha i=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{-16+\alpha-\alpha i} \end{eqnarray*}$

Jetzt hat mir der Übungsleiter den Tipp gegeben mit der
Polardarstellung zu arbeiten, aber die -16 nervt mich unter
der Wurzel und diese kann ich ja wegen dem + auch nicht
als 4i rausholen, oder?

$\begin{eqnarray*} z^2-8iz=16+\sqrt{2}\alpha \cdot e^{\frac{7}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^2-8iz-16-\sqrt{2}\alpha \cdot e^{\frac{7}{4}\pi i}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{-16+\sqrt{2}\alpha \cdot e^{\frac{7}{4}\pi i}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Ich hoffe, es hat jemand einen Tipp!

28.11.2012, 19:37

Mystic

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RE: Lösungen einer Gleichung (komplexe Zahlen)

Zitat:

Original von baba2k
Jetzt hat mir der Übungsleiter den Tipp gegeben mit der
Polardarstellung zu arbeiten, aber die -16 nervt mich unter
der Wurzel und diese kann ich ja wegen dem + auch nicht
als 4i rausholen, oder?

Also, wenn dich die 16 unter Wurzel nervt, dann lass die doch einfach weg... Und ich mein das ernst!

28.11.2012, 19:43

baba2k

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Mhhh, aber dann kann ich doch die pq-Formel nicht anwenden, oder sehe ich da was falsch?
Ich hatte gedacht mein p ist $\begin{eqnarray*} -8i \end{eqnarray*}$ und mein q ist $\begin{eqnarray*} -16-\sqrt{2}\alpha \cdot e^{\frac{7}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$

//EDIT: Ohh jetzt seh ich meinen Fehler!!! smile

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{\sqrt{2}\alpha \cdot e^{\frac{7}{4}\pi i}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt[4]{2}\sqrt{\alpha} \cdot e^{\frac{7}{8}\pi i} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt schon meine Lösung?

Oder lieber in karthesischer Darstellung?
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{\alpha-\alpha i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{1-i}\sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$ [/quote]

28.11.2012, 19:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{\alpha-\alpha i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{1-i}\sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$

Nö, wenn schon dann

$\begin{eqnarray*} z_{1/2} = 4i \pm \frac{\sqrt[4]{2}\sqrt{\alpha}}{2} \left( -\sqrt{2+\sqrt{2}} + i\sqrt{2-\sqrt{2}} \right) = 4i \pm \frac{\sqrt{2\alpha}}{2} \left( -\sqrt{\sqrt{2}+1} + i\sqrt{\sqrt{2}-1} \right) \end{eqnarray*}$

aber muss nicht unbedingt sein. Augenzwinkern

28.11.2012, 19:57

Mystic

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Ich würde erstens deine allerletzte Darstellung der Lösung vorziehen und zweitens da noch die Wurzel aus 1-i tatsächlich ziehen... Oder würdest du z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt 9 \end{eqnarray*}$ auch einfach so stehen lassen? verwirrt

Edit: Ah, da war ich wieder etwas zu spät dran... Augenzwinkern

28.11.2012, 20:00

baba2k

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@Mysitic: Ich hab jetzt soviel rumeditiert (das war nicht so schlau), das ich garnicht mehr genau weiß, was du jetzt meintest...

So jetzt also?
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt[4]{2}\sqrt{\alpha} \cdot e^{\frac{7}{8}\pi i} \end{eqnarray*}$

Und dann ggf. noch die karthesische Variante von HAL 9000?

28.11.2012, 20:10

baba2k

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@HAL 9000: Ehrlich gesagt, bin ich mir garnicht so sicher, was du da gemacht hast.
Ich kenne nur die Variante: $\begin{eqnarray*} r(cos(\phi)+i\cdot sin(\phi)) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2}\sqrt{\alpha}(cos(\frac{7}{8}\pi)+sin(\frac{7}{8}\pi)) \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 20:10

Mystic

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Ich bezog mich oben natürlich auf die kartesische Variante (wie von HAL genauer ausgeführt)...

Edit: Du musst einfache das nichtlineare GS (x+iy)²=1-i, also

x²-y²=1, 2xy=-1

mir reellen Zahlen x und y lösen...

28.11.2012, 20:25

baba2k

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Mh das versteh ich jetzt nicht richtig:

Polardarstellung ist mir klar: $\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt[4]{2}\sqrt{\alpha} \cdot e^{\frac{7}{8}\pi i} \end{eqnarray*}$

Aber wenn karthesische Darstellung du/ihr die kartesische Darstellung bevorzugt, würde ich es ganz gerne verstehen:

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{\alpha-\alpha i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{(1-i)\alpha} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=4i\pm\sqrt{1-i}\sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$

Soweit klar:

Wie kommst du jetzt auf das nichtlineare GS?
$\begin{eqnarray*} x+iy=\sqrt{1-i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+iy)^2=1-i \end{eqnarray*}$

Du hast also $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-i} \end{eqnarray*}$ quadriert, aber was ist mit dem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

28.11.2012, 20:32

Mystic

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Es geht mir jetzt nur einmal um $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-i} \end{eqnarray*}$ und die Darstellung dieser Wurzel in der Form x+iy... Das musst du dann später in deine Lösung einsetzen...

28.11.2012, 20:40

baba2k

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Achso alles klar, aber ich kanns trotzdem grad nicht nachvollziehen,
weder deinen Ansatz noch HAL 9000's Lösung, bin mir nicht mal sicher
in wiefern die zusammenhängen. Vllt sollte ich es doch lieber in Polardarstellung
lassen? smile

Mathe ist einfach nicht mein Fach, ich brauche immer etwas länger
bis ich es verstehe.

$\begin{eqnarray*} x+iy=\sqrt{1-i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+iy)^2=1-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-y^2=1-i \end{eqnarray*}$

28.11.2012, 20:46

Mystic

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Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} x+iy=\sqrt{1-i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+iy)^2=1-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-y^2=1-i \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichung ist hier falsch... Du musst einfach konsequent für die Bereichnung von (x+iy)² die 1.Binomische Formel anwenden und anschließend Realteil bzw. Imaginärteil mit 1-i vergleichen... Das liefert dann obige 2 Gleichungen für x und y...

28.11.2012, 21:23

baba2k

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Ups du hast natürlich recht...

$\begin{eqnarray*} x+iy=\sqrt{1-i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+iy)^2=1-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+2xyi-y^2=1-i \end{eqnarray*}$

Realtteil vergleichen:
$\begin{eqnarray*} x^2-y^2=1 \end{eqnarray*}$

Imaginärteil vergleichen:
$\begin{eqnarray*} 2xy=-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ichs kapiert!

Den Bezug zu HAL 9000 hab ich aber noch nicht...
Bzw. was ich jetzt mit den 2 Gleichungen mache
auch nicht.

Ich glaub ich kann nicht mehr klar denken,
schon wieder den ganzen Tag nur Mathe gemacht...

28.11.2012, 23:15

HAL 9000

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Leopold hat es mal zusammengetragen:

Algebraische Darstellung der komplexe Quadratwurzel

16.02.2013, 14:22

Terabyte

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Das Thema ist zwar schon etwas her, aber da ich gerade in der Klausurvorbereitung stecke und diese Aufgabe gesehen habe (ist auch ein Teil meiner Übungsblätter, habe leider keine Musterlösung dazu):

Wie hat der Benutzer "baba2k" die Polardarstellung ermittelt? Ich kann mir das leider nicht erklären, da der Buchstabe ± eine beliebige reelle Zahl >0 sein kann und ich daher die "normale" Vorgehensweise zur Berechnung der Polardarstellung nicht anwenden kann. Vielen Dank im Voraus für eure Antworten und Unterstützung.

Mit freundlichen Grüßen,
Terabyte smile

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