Symmetrische Gruppe S4 |
28.11.2012, 23:06 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Symmetrische Gruppe S4 Sei die Symmetrische Gruppe der Ordnung 4. Geben Sie zwei Untergruppen der Ordnung 4 an, die nicht zueinander konjugiert sind. In anderen Worten: Finden Sie , so dass kein existiert mit . Meine Ideen: Es gibt ja 7 Untergruppen der Ordnung 4 von G. Davon sind 4 nicht zyklisch und 3 sind zyklisch. Nun habe ich aber in jeder Untergruppe eines der Elemente: Wenn ich diese nun mit den verschiedenen zwei Zykeln auf die Gruppenoperation los lasse, bekomme ich wieder diese Elemente. Sprich ich finde obige Gruppen nicht und bin ratlos. Z.b.: Gibt es solch eine Untergruppe überhaupt und wenn ja welche ? Und warum ? Es wird ja einen eleganteren Weg geben das herauszufinden, als alle Möglichkeiten auszuprobieren. Vielen Dank im Voraus |
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29.11.2012, 18:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
http://www.google.de/imgres?imgurl=http:...9QEwBg&dur=4419 |
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29.11.2012, 20:17 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also der link hilft mir nicht wirklich weiter |
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29.11.2012, 21:07 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Symmetrische Gruppe S4
Ich versteh nur Bahnhof bei dem was du schreibst... Das beginnt schon mit diesem allerersten Satz... Man braucht doch einen Zyklus der Länge 4 um eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4 zu erzeugen und davon gibt es doch nur ganze 6 Stück... Je zwei liegen aber in der gleichen Untergruppe, z.B. Des weiteren ist auch eine (nichtzyklische) Untergruppe der Ordnung 4... Wie du daher auf obige Zahlen kommst ist mir also sowas von schleierhaft... |
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30.11.2012, 13:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@MatheMatosi Wieso hilft der Link nicht ? Da steht doch, dass es C4 und D2 in S4 gibt. Die sind nicht isomorph, also schon gar nicht konjugiert. |
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03.12.2012, 08:55 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Mystic Erstmal zur Notation: Mit Ordnung 4 einer Untergruppe meine ich die Anzahl der Elemente in der Untergruppe. Nicht aber die Länge des Zykel der sie erzeugt. Ist das hier so gefragt oder interpretiere ich die Aufgabe hier falsch ? @Elvis
Da stehen die verschiedenen Untergruppen von S4, ich sehe aber nicht wie ich damit die obige Frage beantworten kann. Außerdem wäre es hilfreich meinen evtl. Denkfehler in meinem Ansatz zu beseitigen. Danke euch |
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03.12.2012, 09:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4 muss von einem Zyklus der Länge 4 erzeugt werden, anders geht das nicht.. Bitte mach dir diesen elementaren Sachverhalt erst einmal klar...
Ich hätte ja gern was dazu gesagt, aber nach dem richtigen Anfang, dass nämlich eine der drei Permutationen (12)(34),(13)(24),(14)(23) in jeder Untergruppe der Ordnung 4 liegen muss, ist der Rest dann so wirr und unverständlich, dass ich aufgegeben habe... |
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03.12.2012, 09:50 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok ist mir klar Ich habe also folgende zyklische Untergruppen der Ordnung 4: die einzige nicht zyklische Untergruppe der Ordnung 4 ist dann Ist das soweit nun richtig ? Welche Ordnung hat denn die Untergruppe ? Bisher hatte ich gedacht auch 4, da hier ja vier Elemente enthalten sind. |
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03.12.2012, 10:02 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das ist nun richtig und auch das, was ich oben schon geschrieben hatte, nämlich dass sich die 6 Zyklen der Länge 4 auf die 3 zyklischen Untergruppen der Ordnung 4 aufteilen und es darüberhinaus noch genau eine nichtzyklische Untergruppe der Ordnung 4 gibt... Interessant wäre nun nur noch, ob du in der Zwischenzeit selbst deinen Denkfehler oben herausgefunden hast... |
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03.12.2012, 10:17 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
klares nein ! Ich muss doch zwei Untergruppen finden für die das hier nicht gilt für alle . Wenn ich mir nun aus das Element (14)(23) herausnehme und obige Gruppenoperation mit dem Element g=(12) ausführe bekomme ich den Zykel (13)(24). (Wie schon in meinem ersten Beitrag geschrieben). Für g=(13) den Zykel (12)(34) und für g=(14) den Zykel (14)(23). Und das ist bei den anderen Untergruppen genauso. D.h. ich finde keine 2 Untergruppen für die nicht gilt Verstehst du mein Problem ? Und kannst du mir noch meine Frage beantworten
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03.12.2012, 10:44 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leider nein... Deine Prämissen stimmen alle, aber ich kann daraus deinen Schluss nicht ziehen... Glaubst du am Ende, dass nichtkonjugierte Untergruppe keine gemeinsamen Elemente (außer id) haben dürfen? und sind z.B. nicht konjugiert, da nicht isomorph, haben aber (13)(24) gemeinsam...
Ja, das stimmt, da hab ich einen Riesenbock geschossen, sorry... Bin wohl schon zu lange in diesem Forum unterwegs... |
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03.12.2012, 10:53 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun ja, es darf ja nicht gelten, (gilt lt. deiner Aussage auch nicht ) aber
d.h. die Aussage
stimmt soweit ? |
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03.12.2012, 11:29 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum rechnest du mit g=(12) nicht einmal ganz aus??? Dann würdest du deinen Irrtum sofort erkennen, denn es ist also nicht ... Und ja, deine anfängliche Aussage betreffend die Anzahl der Untergruppen stimmt so... |
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03.12.2012, 11:39 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe es einfach nicht. Wie meinst du ganz ausrechnen. Ich habe es doch für ein Element ausgerechnet. Wie rechne ich es denn ganz aus ??? |
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03.12.2012, 11:47 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
03.12.2012, 11:47 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok ich denke jetzt hab ichs. Also Aber wie ist dann die Aufgabe zu verstehen. Es darf ja kein solches g existieren. Muss ich jetzt alle Elemente mit allen Untergruppen so ausrechnen, um 2 Untergruppen zu finden ? Oder kann man das auch anders einsehen ? |
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03.12.2012, 11:58 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mann, oh Mann, das ist so unendlich mühsam hier, da doch alles schon gesagt wurde, nämlich: Zwei konjugierte Untergruppen sind isomorph, und sind nicht isomorph und daher auch nicht konjugiert... Ich hatte vorhin - fälschlich wie sich jetzt herausstellt - den Eindruck, diesen Punkt hast du schon verstanden... |
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03.12.2012, 12:14 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
korriegiere mich wenn ich falsch liege, aber du hast eben mit deinem
auch zur Verwirrung beigetragen. Da musst du jetzt durch. Nichts für ungut, your Das heisst also insgesamt: für entsprechende g,g',h in G. Und es existiert kein g'',h',h'' in G mit Da es keinen Isomorphismus gibt, der einen 4 Zykel (abcd) auf einen Zykel der Form (ab)(cd) abbildet. Ist das nun so stimmig ? |
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03.12.2012, 12:25 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist es natürlich nicht... Isomorphismen kann es nur zwischen Untergruppen der geben, nicht zwischen einzelnen Elementen der ... Und was Riesenböcke betrifft, so bin ich der Letzte, der jemanden einen Strick daraus dreht, solange es eine Ausnahme bleibt... |
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03.12.2012, 12:33 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja schon klar aber du weisst doch wie ich meine oder nicht ? Ich will damit sagen, dass kein Isomorphismus existiert, da wir zwar Aber die 4 Zykel nicht auf die beiden zwei 2 Zykel abbilden können. Kann icdh so argumentieren, oder wie würdest du hier argumentieren ? |
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03.12.2012, 12:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich würde sagen, dass zyklisch ist, d.h., ein Element der Ordnung 4 besitzt, dagegen nicht... Daher können die beiden Gruppen nicht isomorph sein... Übrigens ist Isomorphie umgekehrt zu schwach, um Konjugiertheit folgern zu können, denn und *) sind isomorph aber nicht konjugiert... *) ist dabei irgendeine der von mir ursprünglich "vergessenen" Untergruppen der Ordnung 4... |
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03.12.2012, 12:49 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok. Und was geht schief, wenn ich ein Element der Ordnung 4 (also einen 4 Zykel), auf einen Zykel der Form (ab)(cd) abbilde ? Kann ich mir das nicht einfach so definieren ? Und warum gibt es dann einen Isomorphismus zwischen |
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03.12.2012, 13:11 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe ja auch nicht gesagt, dass dein Argument falsch ist - wir meinen wohl beide dasselbe - ich würde es halt anders ausdrücken...
Es gibt bis auf Isomorphie nur eine nichtzyklische Gruppe mit 4 Elementen, die sog. Kleinsche Vierergruppe... Du kannst den Isomorphismus hier übrigens sogar beliebig definieren, solange er nur bijektiv ist und id auf id abbildet... |
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03.12.2012, 13:21 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja aber
Ja ich weiss, aber warum gibt es einen solchen Isomorphismus nicht ? |
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03.12.2012, 13:57 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich eine Element a der Ordnung 4 in einer Gruppe habe, heißt das, dass die Potenzen alle verschieden sind... Ist nun b=f(a) das Bild von a unter einem Isomorphismus f, so müssen dann auch alle verschieden sein, wegen der Injektivität von f... |
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03.12.2012, 14:25 | MatheMathosi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok super ! Jetzt ist alles klar Vielen Dank für deine Hilfe |
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