Nullelement in Menge der Äquivalenzklassen

29.11.2012, 08:17

alcardaalanda

Nullelement in Menge der Äquivalenzklassen

Guten Morgen zusammen.

Ich bin gerade an folgender Aufgabe und habe eine Verständnisfrage dazu:

Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring und $\begin{eqnarray*} S \subset R \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge mit $\begin{eqnarray*} 1_{R} \in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x , y \in S \Rightarrow xy \in S \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} S^{-1}R \end{eqnarray*}$ die Menge der Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation
$\begin{eqnarray*} (s,r)\sim (s',r') \iff \exists s'' \in S: s''(sr'-s'r)=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} S\times R \end{eqnarray*}$

Zu zeigen sind folgende Aussagen:

a) $\begin{eqnarray*} 0 \in S \Rightarrow S^{-1}R=0 \end{eqnarray*}$
b) Der natürliche Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} R \longrightarrow S^{-1}R \end{eqnarray*}$ ist genau dann injektiv, wenn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ keine Nullteiler besitzt.

Meine Frage ist: Wie sieht das Nullelement in der Menge der Äquivalenzklassen aus?
Denn:

Die a) ist doch nicht schwer zu zeigen. Wenn $\begin{eqnarray*} 0 \in S \end{eqnarray*}$ , dann wähle $\begin{eqnarray*} s'' = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann sind alle Tupel $\begin{eqnarray*} (s,r) , (s',r') \end{eqnarray*}$ zueinander äquivalent und es gibt somit nur eine Äquivalenzklasse und ich kann als Vertreter das Nullelement wählen, oder?

Wie kann ich mir bei b) jetzt den natürlichen Ringhomomorphismus vorstellen? Ich hätte jetzt gesagt, $\begin{eqnarray*} r \longmapsto (1,r) \end{eqnarray*}$ . Dann würde das Nullelement wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray*} 0 = (1,0) \end{eqnarray*}$ . Bei der b) wollte ich in der Hinrichtung nämlich mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten: Wenn ich annehme, es gäbe Nullteiler in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , dann ist der Kern der Abbildung nicht trivial, was einen Widerspruch zur Injektivität vom Homomorphismus darstellt.

Denn ist $\begin{eqnarray*} s'' \end{eqnarray*}$ Nullteiler und $\begin{eqnarray*} r'\neq r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s''r' = 0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt: $\begin{eqnarray*} (1,0) \sim (1,r') \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} s''(1r'-1*0) = s''(r')=0 \end{eqnarray*}$ und somit hätte ich ein weiteres Element gefunden, welches im Kern liegt.

Stimmen meine Überlegungen so? Mich würde interessieren, ob das Nullelement genau das oben beschriebene ist und ich den natürlichen Ringhomomorphismus richtig interpretiere. Denn ich hätte eigentlich gedacht, dass $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ das Nullelement ist. Die Existenz davon ist ja aber nicht garantiert, da ja in der b) nicht $\begin{eqnarray*} 0 \in S \end{eqnarray*}$ gefordert ist.

Vermutlich denke ich einfach mal wieder zu verquer. Vielleicht kann ja jemand von euch Licht ins Dunkel bringen. smile

29.11.2012, 16:08

RavenOnJ

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Ich nehme an, dein Ring ist kommutativ.

Meinst du mit dem natürlichen Ringhomomorphismus diesen?

$\begin{eqnarray*} h: R\to S^{-1}R, h(r)\mapsto \frac{rs}{s} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \frac{rs}{s} := [(s,r)] := \{(s_i,r_i)\in S\times R: (s,r)\sim (s_i,r_i)\} \end{eqnarray*}$ , unabhängig von $\begin{align*} s \end{align*}$ .

Das Nullelement wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{0}{s} , s\in S \land s\ne 0 \end{eqnarray*}$ . ein Repräsentant wäre auch $\begin{align*} (1,0) \end{align*}$ , aber nicht $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ .

29.11.2012, 16:27

alcardaalanda

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Hi,

vielen Dank für die Antwort.
Die Kommutativität des Rings ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert, aber ich sehe im Moment auch nicht, dass man diese an einer Stelle braucht.

Was genau der natürliche Ringhomomorphismus ist, weiß ich leider nicht. Ich habe nur meine Professorin mal auf die Aufgabe angesprochen und ihr ist direkt aufgefallen, dass die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ liegt und dass man den Homomorphismus wegen dieser Information "natürlich wählen kann".

Da erschien es mir am Naheliegendsten, ihn so wie oben angegeben zu definieren, also $\begin{eqnarray*} r \longmapsto (1,r) \end{eqnarray*}$ .

Habe mal in unserer Fachschaft in alten Aufgaben gestöbert und eine ähnliche gefunden, wo der natürliche Homomorphismus so definiert war: $\begin{eqnarray*} r \longmapsto \frac{r}{1} \end{eqnarray*}$ , was meiner Vorstellung davon ziemlich genau entspricht.

Leider weiß ich nicht, was einen Homomorphismus genau "natürlich" macht. Das war gerade meine Frage.

Das mit dem Nullelement habe ich mir schon so gedacht, wie du es beschreibst. Dann sollte doch meine Hinrichtung passen, denke ich, oder ?

Zitat:

Denn ist $\begin{eqnarray*} s'' \end{eqnarray*}$ Nullteiler und $\begin{eqnarray*} r'\neq r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s''r' = 0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt: $\begin{eqnarray*} (1,0) \sim (1,r') \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} s''(1r'-1*0) = s''(r')=0 \end{eqnarray*}$ und somit hätte ich ein weiteres Element gefunden, welches im Kern liegt.

Hier soll es natürlich heißen $\begin{eqnarray*} r'\neq 0 \end{eqnarray*}$

Und die Rückrichtung habe ich mit Kontraposition auch leicht zeigen können.

29.11.2012, 16:45

RavenOnJ

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Zitat:

Original von alcardaalanda

Hier soll es natürlich heißen $\begin{eqnarray*} r'\neq 0 \end{eqnarray*}$

ja, klar. War mir gar nicht aufgefallen.

Ich glaube schon, dass man besser die Kommutativität fordert, da es sonst Probleme gibt. Was ist denn bei Nicht-Kommutativität z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{r_1}{s_1} + \frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1 s_2+s_1 r_2}{s_1 s_2} \end{eqnarray*}$ .

Es muss ja gelten

$\begin{eqnarray*} \frac{r_1}{s_1} + \frac{r_2}{s_2} \stackrel{!}{=} \frac{r_2}{s_2} + \frac{r_1}{s_1} = \frac{r_2 s_1+s_2 r_1}{s_2 s_1} \end{eqnarray*}$

und für mich ist nicht sofort ersichtlich, ob diese Gleichheit dann gilt bzw. ich bezweifele, dass sie gilt

29.11.2012, 16:49

RavenOnJ

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Zitat:

Original von alcardaalanda

Da erschien es mir am Naheliegendsten, ihn so wie oben angegeben zu definieren, also $\begin{eqnarray*} r \longmapsto (1,r) \end{eqnarray*}$ .

Man kann aber leicht zeigen, dass $\begin{align*} (1,r)\sim (s,rs) \end{align*}$ , man kann also auch andere Repäsentanten wählen.

29.11.2012, 17:25

RavenOnJ

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ich hab das dazu bei wikipedia gefunden.

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