Endomorphismen, Kern, Bild

29.11.2012, 11:00	Knalltüte	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismen, Kern, Bild Meine Frage: Hi, zusammen, ich knobel schon eine Weile an folgender Aufgabe herum: Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, f,g:V--> V Endomorphismen mit f\cdot (Kuller/ Kringel)f = f und g\cdot g = g. Zu zeigen: i) g\cdot f = f und f\cdot g = g ist äquivalent zu Im(f) = Im(g) ii) g\cdot f = g und f\cdot g = f ist äquivalent zu Ker(f) = Ker(g) Ich habe schon einige Wege ausprobiert, komme aber leider nicht weiter. Für Tips oder Lösungsansätze wäre ich sehr dankbar. Meine Ideen: Es sind ja jeweils beide Implikationen zu zeigen: Zur i) Sei f(x_{1}) = y \in Im(f): f(x_{1}) = (g\cdot f)(x_{1}) \Rightarrow (f\cdot f)(x_{1}) = f\cdot g (x_{1}) \Rightarrow f(f(x_{1})) = g(f(x_{1})) \Rightarrow f(y) = g(y) Mit der anderen Implikation komme ich leider nicht zurecht. Die ii) habe ich inzwischen, glaube ich, beweisen können. Im Vorraus vielen Dank für eure Hilfe!
29.11.2012, 15:34	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismen, Kern, Bild Habs mal etwas umformuliert! Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, $\begin{eqnarray} f,g:V\rightarrow V \end{eqnarray}$ Endomorphismen mit $\begin{eqnarray} f\cdot f = f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\cdot g = g. \end{eqnarray}$ Zu zeigen: i) $\begin{eqnarray} g\cdot f = f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\cdot g = g \Longleftrightarrow Im(f) = Im(g) \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} g\cdot f = g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\cdot g = f \Longleftrightarrow Ker(f) = Ker(g) \end{eqnarray}$
03.12.2012, 21:41	Peter Lustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin bei der gleichen Aufgabe, deswegen hab ich mir jetzt mal Gedanken dazu gemacht. $\begin{eqnarray} g\circ f =f \wedge f\circ g = g<br /> <br /> \Leftrightarrow g\circ g \circ f = g \circ f \wedge f \circ f \circ g = f \circ g <br /> <br /> \Leftrightarrow g\circ f = g\circ f \wedge f\circ g = f\circ g<br /> <br /> \Leftrightarrow f = f\circ f \wedge g = g \circ g<br /> <br /> \Leftrightarrow f(x) = f(f(x)) \wedge g(x)=g(g(x))<br /> <br /> \Leftrightarrow x = f(x) \wedge x = g(x)<br /> <br /> \Leftrightarrow f(x)=g(x)<br /> <br /> \Leftrightarrow Bild(f)=Bild(g) \end{eqnarray}$ Habe eben mit der einen Seite angefangen und versucht mittels äquivalenzumformungen auf die andere seite zu kommen, indem ich meine voraussetzungen verwende. Bin mir allerdings nicht sicher, ob ich jetzt wirklich jeden äquivalenzpfeil auch machen darf .. oder ob ich doch beide richtungen extra zeigen muss.

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