Dichte einer stetigen Verteilung

29.11.2012, 16:04

Theend9219

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Dichte einer stetigen Verteilung

Guten Tag,

folgende Aufgabe:
__________________________________________________________________________
Familie von Funktionen :

$\begin{eqnarray*} g_{a,b} (x) = b(x-a)^3 \mathbf{1}_{[0,2]}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x \in R, a \in R, b>0 \end{eqnarray*}$

Beantworten Sie für welches $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ die Frage:
Für welches $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g_{a,b} \end{eqnarray*}$ die Dichte einer stetigen Verteilung?

__________________________________________________________________________

Meine Vorüberlegungen: Dazu habe ich eine Definition aus dem Internet heran gezogen.

$\begin{eqnarray*} X: \Omega -> R \end{eqnarray*}$ Zufallsvariable
ist absolut stetig, falls eine Dichtefunktion

$\begin{eqnarray*} F_{x} (b) = \int_{-\infty}^b \! f_{x} (x) \,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall b \in R \end{eqnarray*}$
existiert.
Setze ich hier jetzt für f(x) mein $\begin{eqnarray*} g_{a,b} \end{eqnarray*}$ ein? Welche Grenzen setze ich fest? Wie verhält sich das mit dem a?
Ich hoffe mir kann jemand helfen

29.11.2012, 16:27

Math1986

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung
Hallo,
häng dich nicht zu sehr an der Stetigkeit auf, das ist nicht der Punkt. Der Punkt ist erstmal, zu zeigen, dass hier überhaupt eine Dichtefunktion gegeben ist.

Zu dem Integral bzw den Integrationsgrenzen: Beachte, dass du eine Indikatorfunktion eingebaut hast, d.h. du musst nur über den Bereich [0,2] integieen, da die Funktion außerhalb Null ist.

PS: Die nFrage

Zitat:

Beantworten Sie für welches $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ die Frage:
Für welches $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g_{a,b} \end{eqnarray*}$ die Dichte einer stetigen Verteilung?

ist reichlich nebulös formuliert unglücklich

unglücklich

29.11.2012, 16:46

Theend9219

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung

Zitat:

Original von Math1986
Hallo,
häng dich nicht zu sehr an der Stetigkeit auf, das ist nicht der Punkt. Der Punkt ist erstmal, zu zeigen, dass hier überhaupt eine Dichtefunktion gegeben ist.

Zu dem Integral bzw den Integrationsgrenzen: Beachte, dass du eine Indikatorfunktion eingebaut hast, d.h. du musst nur über den Bereich [0,2] integieen, da die Funktion außerhalb Null ist.

PS: Die nFrage

Zitat:

Beantworten Sie für welches $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ die Frage:
Für welches $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g_{a,b} \end{eqnarray*}$ die Dichte einer stetigen Verteilung?

ist reichlich nebulös formuliert unglücklich

unglücklich

Erst einmal vielen Dank für deine ANtwort Math1986!

Die Frage wurde so vom Dozenten auf dem Übungszettel formuliert ich habe sie nur 100% übernommen. Also entschuldige ich mich für diese Unanehmlichkeit. Ich würde nun wiefolgt vorgehen.
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x-1)^3 1_{[0,2]} (x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x+1)^3 1_{[0,2]} (x) \end{eqnarray*}$

jeweils für a= 1/ a= -1

Ich weiß nicht wie sich das Integral über einer Indikatorfunktion verhält deshalb hab ich das Integral nur einmal für den ersten Teil ausgerechnet. Der erste Teil heißt $\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x+1)^3 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x-1)^3 = 2 \end{eqnarray*}$ und für
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x+1)^3 = 54 b \end{eqnarray*}$
Bin ich auf dem Holzweg? oder gibt es ein oder zwei richtige Ansätze?

29.11.2012, 16:57

Math1986

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung
Rechne die Aufgabe erstmal für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ geht das analog.

Die Indikatorfunktion fällt beim Integrieren einfach weg. Schau dir nochmal an, wie die definiert ist. Die ist 1 in dem Intervall [0,2], sonst 0.

Wie kommst du auf
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x-1)^3 = 2 \end{eqnarray*}$
Wo ist der Faktor b hin?
Sonst stimmt es.

Bis dahin stimmt das schonmal.
Das b muss nun so gewählt werden, dass die Funktion auch eine Dichtefunktion ist.

29.11.2012, 17:10

Theend9219

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung

Zitat:

Original von Math1986
Rechne die Aufgabe erstmal für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ geht das analog.

Die Indikatorfunktion fällt beim Integrieren einfach weg. Schau dir nochmal an, wie die definiert ist. Die ist 1 in dem Intervall [0,2], sonst 0.

Wie kommst du auf
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x-1)^3 = 2 \end{eqnarray*}$
Wo ist der Faktor b hin?
Sonst stimmt es.

Bis dahin stimmt das schonmal.
Das b muss nun so gewählt werden, dass die Funktion auch eine Dichtefunktion ist.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x-1)^3 = b/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x+1)^3 = 81b/4 \end{eqnarray*}$
Komme nun auf ganz andere Werte ... Sind die korrekt?

Muss ich nun $\begin{eqnarray*} P(0 \leq X \leq b) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{0}^2 b(x-1)^3 = b/4 \end{eqnarray*}$ zeigen?

29.11.2012, 17:19

HAL 9000

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Kurze Anmerkung
Falls $\begin{eqnarray*} a\in (0,2) \end{eqnarray*}$ , so wechselt

$\begin{eqnarray*} g_{a,b} (x) = b(x-a)^3 \mathbf{1}_{[0,2]}(x) \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen, ganz gleich, ob $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ gilt. Ein tödliches Verhalten für eine Dichte, da muss man keine Integrale mehr ausrechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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29.11.2012, 17:26

Math1986

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung
Es ist nach einer einfachen Substitution

$\begin{eqnarray*} b\int_0^2 (x-1)^3 dx=b\int_{-1}^1 x^3 dx=0 \end{eqnarray*}$

Beim anderen Integral die selbe Substitution, nur in die andere Richtung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da ist die Funktion also auch keine Dichtefunktion.

29.11.2012, 17:30

Theend9219

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung

Zitat:

Original von Math1986
Es ist nach einer einfachen Substitution

$\begin{eqnarray*} b\int_0^2 (x-1)^3 dx=b\int_{-1}^1 x^3 dx=0 \end{eqnarray*}$

Beim anderen Integral die selbe Substitution, nur in die andere Richtung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da ist die Funktion also auch keine Dichtefunktion.

Danke !! Vielen Dank

wie kommst du aber auf $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2012, 17:32

Math1986

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung
Wie ich sagte, eine einfache Substitution, genauer gesagt eine Verschiebung des Integals auf der x-Achse.

Mal dir mal eine Skizze dazu. Du schiebst das Integral nach links.

Nachtrag: Die Begründung von HAL9000 ist da aber auch etwas eleganter.

29.11.2012, 17:37

Theend9219

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RE: Dichte einer stetigen Verteilung
Achso also willst du mir damit sagen, dass [-1,1] keine Dichtefunktion ist und somit ist [0,2] auch keine Dichtefunktion? hihi smile

smile

Also aus dem einen folgt das andere

29.11.2012, 17:47

Theend9219

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RE: Kurze Anmerkung
Danke für deien Antwort HAL 9000: Dennoch habe ich eine Frage
wo ist die Stelle x= a?

29.11.2012, 18:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Theend9219
wo ist die Stelle x= a?

Als Nichtpädagoge bin ich von derlei Fragen immer etwas überrumpelt: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein Parameter deiner Funktion, und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das Funktionsargument. Wenn ich also von der Stelle $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ rede, dann meine ich den Funktionsverlauf an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , bzw. besser gesagt in einer Umgebung dieser Stelle. Besser kann ich es nicht erklären, da mir die Mittelstufenlehrer-Erfahrung fehlt.

29.11.2012, 18:15

Theend9219

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Theend9219
wo ist die Stelle x= a?

Als Nichtpädagoge bin ich von derlei Fragen immer etwas überrumpelt: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein Parameter deiner Funktion, und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das Funktionsargument. Wenn ich also von der Stelle $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ rede, dann meine ich den Funktionsverlauf an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , bzw. besser gesagt in einer Umgebung dieser Stelle. Besser kann ich es nicht erklären, da mir die Mittelstufenlehrer-Erfahrung fehlt.

Kannst du denn nicht einfach sagen Die stelle auf der X Achse , wo der Wert a angenommen wird?
Auch Du kannst noch dazulernen!

29.11.2012, 18:19

HAL 9000

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Nein, mit der Formulierung meine ich ausdrücklich auch die Umgebung von der Stelle a.

P.S.: Erst anfragen, als kennst du den Begriff nicht, und dann wirst du mit diesem

Zitat:

Original von Theend9219
Auch Du kannst noch dazulernen!

auch noch impertinent. Was für ein Früchtchen, naja, ich muss mich ja mit dir nicht herumärgern. Finger2

Finger2

29.11.2012, 18:20

Theend9219

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nein, mit der Formulierung meine ich ausdrücklich auch die Umgebung von der Stelle a.

P.S.: Erst anfragen, als kennst du den Begriff nicht, und dann wirst du mit diesem

Zitat:

Original von Theend9219
Auch Du kannst noch dazulernen!

auch noch impertinent. Was für ein Früchtchen, naja, ich muss mich ja mit dir nicht herumärgern. Finger2

Finger2

Tut mir leid .. die MatheWut die manchmal entsteht auf einem Lösungsweg hab ich auf dich losgelassen .. Ich entschuldige mich

29.11.2012, 18:26

HAL 9000

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Na Ok, aber ich bin sowieso weg hier, denn du hast mit Math1986 ja schon einen mehr als kompetenten Helfer. Meine Anmerkung oben bezog sich nur auf einen Aspekt des Problems, der m.E. hier bisher noch nicht so deutlich besprochen wurde.

P.S.: Und deinen Vorschlag werde ich gewiss nicht "dazulernen", da man "Wert" im Zusammenhang mit Funktionsverläufen üblicherweise mit "Funktionswert" assoziiert, während für Argumentwerte die Bezeichnung "Stelle" absolut üblich ist und auch in der Schule so gelehrt wird - zumindest wurde es das zu meiner Zeit.

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