Körperautomorphismen in C

29.11.2012, 18:28	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperautomorphismen in C Hallo, ich soll zeigen, dass die beiden einzigen Körperautomorphismen die Identität und die Konjugationsabbildung sind. Dazu sei $\begin{eqnarray} \Phi : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ein Körperautomorphismus mit $\begin{eqnarray} \Phi \vert _\mathbb{R} = id_\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Ich habe mir jetzt gedacht, wenn man $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ hat, mit $\begin{eqnarray} Im(z) = 0 \end{eqnarray}$ , das heißt $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , ist $\begin{eqnarray} \Phi = id_\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , da ich in einer vorigen Aufgabe schon gezeigt habe, dass $\begin{eqnarray} id_\mathbb{R} \end{eqnarray}$ der einzige Körperautomorphismus auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist. Also bleibt noch der Fall, dass $\begin{eqnarray} z = a + bi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ . Wie kann ich jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ nur noch die Konjugationsabbildung sein kann? Irgendwie hänge ich. Ich meine, es bringt ja auch nichts, jetzt zu zeigen, dass die Konjugationsabbildung ein Automorphismus ist, denn sie muss ja der einzig übrig bleibende Automorphismus sein. Grüße, Naryxus
29.11.2012, 18:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, dass ein solcher Automorphismus durch das Bild von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ bestimmt ist. Nun schickt ein Körperautomorphismus $\begin{eqnarray} L \to L \end{eqnarray}$ , der einen Unterkörper $\begin{eqnarray} K \subset L \end{eqnarray}$ festhält, immer Nullstellen von Polynomen in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ wieder auf Nullstellen des selben Polynoms. Überlege dir welches Polynom du dir anschauen musst, um alle möglichen Bilder von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ zu bekommen.
29.11.2012, 18:50	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm... Sorry, ich habe gerade gar nichts davon verstanden. Wieso wird der Automorphismus durch das Bild von i bestimmt? Also was heißt das? Ich weiß, dass ein Automorphis den selben Definitions- und Zielbereich hat, bijektiv ist und ein Ringhomomorphismus ist. Und was heißt es, wenn ein Automorphismus einen Unterkörper festhält? Und wie kann ich aus einer komplexen Zahl ein Polynom bilden? (Ja natürlich, wenn ich z.B. x^2 + 1 habe; Aber doch nicht bei a+bi)... Sorry, aber ich komme gerade gar nicht mit...
03.12.2012, 20:41	Tarnfara	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, dass mein Vorgänger gemeint hat, dass die Aufgabe im Rahmen der Körper (bzw. Galoistheorie) gestellt wurde und die zugehörigen Sätze entsprechen da waren. Ein Polynom aus einem beliebigen Element $\begin{eqnarray} a + bi \end{eqnarray}$ kannst du durch $\begin{eqnarray} X^2 - 2 a X + a^2 + b^2 \end{eqnarray}$ erhalten, das wird dir aber so nichts nutzen. Ganz naiv: $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Ein Ringhomomorphismus, der $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ festlässt, ist also eine $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ lineare Abbildung des $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ in sich und damit durch sein Bild von $\begin{eqnarray} 1 + 0 i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 + 1i \end{eqnarray}$ vollständig bestimmt. Die einzige Frage, die sich stellt ist also, wohin kann das $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ abgebildet werden, damit die Abbildung ein Automorphismus wird. An diesem Punkt solltest du dann nochmal den obigen Beitrag lesen. Gruß

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »