Umkehraufgaben 5

30.11.2012, 02:28

Tipso

Umkehraufgaben 5

Hallo,

Aufgabenstellung:

Ermittle die Funktionsgleichung f!

Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$ hat in O(0/0) einen Extrempunkt und in W((1/2/3) den Wendepunkt.

Mein Lösungsvorschlag:

Wir erhalten vom Extremp. die erste Ableitung und vom Wendepunkt die zweite Ableitung. Damit lässt sich die Funktionsgleichung ableiten?

lg

30.11.2012, 06:35

Equester

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Zitat:

Wir erhalten vom Extremp. die erste Ableitung und vom Wendepunkt die zweite Ableitung.

Die Formulierung ist etwas komisch.
Eher: Wir erhalten einen Wert für die Ableitung an einer bestimmten Stelle.

4 Variablen haben wir. Brauchen wir also auch 4 Bedingungen. Stelle sie auf.

01.12.2012, 00:11

Tipso

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$\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------

1. f(1/2) = 3

2. f'(0) = 0

3. f''(0) = (1/2)

4. f(0) = 0

Ps.
Ich bin offline und ab Morgen wieder am Werk.
Danke für deine Hilfe. Gute Nacht.

lg
Tipso

01.12.2012, 00:24

Equester

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Bedingung 3 stimmt nicht. Aber sonst sehr gut Freude

01.12.2012, 16:48

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------

1. f(1/2) = 3

2. f'(0) = 0

3. f''(0) = 1

4. f(0) = 0

Ps.
Ich bin offline und ab Morgen wieder am Werk.
Danke für deine Hilfe. Gute Nacht.

lg
Tipso

01.12.2012, 16:59

Equester

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Zitat:

Original von Equester

-Wendepunkte: Hier arbeiten wir mit der zweiten Ableitung f''(x). Nach Bedingung muss diese ja
0 sein.

Aus dem anderen Thread Augenzwinkern

.
Diese Bedingung musst du übringes im Schlaf können! Wie auch die für Extrempunkte.

01.12.2012, 17:05

Tipso

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Hi,

Habe ich berücksichtigt in meinem letzten Post.

f''(0) = 1.

Ich hoffe das passt so.

Wo ich echt überlegen muss ist bei 1 un bei 4...

Danach die Gleichungssysteme aufstellen und loslegen soweit ich weis?

Dabei sind diese Aufgaben noch die leichten ... oh mann Big Laugh

01.12.2012, 18:39

Tipso

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Dann lege ich mal los:

1. f(1/2) = 3

2. f'(0) = 0

3. f''(0) = 1

4. f(0) = 0

Zitat:

1. f(1/2) = 3 = a * (1/2)^3 + b*(1/2)^2 + c * (1/2) + d

2. f'(0) = 0 = 3 * a * 0^2 + 2 * b * 0 + c

3. f''(0) = 1 = 6 * a * 1 + 2 * b * 1 + c

4. f(0) = 0 = a * 0^3 + b * 0^2 + c*0 + d

Zusammengefasst

1. f(1/2) = 3 = 0,125a + 0,25b + 0,5c + d

2. f'(0) = 0 = c

3. f''(0) = 1 = 6a + 2b + c

4. f(0) = 0 = d

Jetzt bin ich etwas verunsichert weil 2,3,4 den x-Wert bzw. Funktionswert 0 hat aber 1. (1/2). Was das nun für mein Gleichungssystem bedeutet..

Nun habe ich 3 Gleichungen und muss versuchen die jeweiligen Lösungen zu erhalten.

d = 0

c = 0

Was sagt mir das? Warum sagt mir dies die Ergebnisse für c und d?

(1) 3 = 0,125a + 0,25b + 0,5c + d
(3) 1 = 6a + 2b + c

(1) 3 = 0,125a + 0,25b
(3) 1 = 6a + 2b

(1) * 8

24 = a + 2b

1 = 6a + 2b

Subtraktionsverfahren

23 = 5a

a = 5/23

Auf jeden Fall habe ich einen Fehler hier, den ich leider nicht finde.

lg

02.12.2012, 01:26

Equester

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Zitat:

Hier arbeiten wir mit der zweiten Ableitung f''(x). Nach Bedingung muss diese ja
0 sein.

Das liegt daran, dass du das wohl nicht ganz verstanden hast. "Diese Bedingung muss 0 sein", bedeutet,
dass rechts die 0 steht -> f''=0.
Und zwar an der Stelle 1/2. Immerhin haben wir hier den Wendepunkt. Also: f''(1/2)=0

Damit haben wir nun unsere vier Gleichungen.
1. f(1/2) = 3

2. f'(0) = 0

3. f''(1/2) = 0

4. f(0) = 0

Nun versuche dich erneut Augenzwinkern

.

Trotzdem ein Kommentar zu deiner Rechnung:
Du schreibst bei 3.

Zitat:

3. f''(0) = 1 = 6 * a * 1 + 2 * b * 1 + c

Dabei lautet doch die zweite Ableitung.
$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$
Und da ist kein x dabei! Auch das *1 beim b hat da nichts verloren.

02.12.2012, 09:13

Tipso

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Hi,

1. f(1/2) = 3

2. f'(0) = 0

3. f''(1/2) = 0

4. f(0) = 0

$\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen sagen mir:

2. f'(0) = 0 = c

4. f(0) = 0 = d

3. f''(1/2) = 0 = b

Warum kann ich diese jetzt nicht in 4. einsetzen.

0 = 6 *a * 0 + 2*0

a wäre damit weg. bzw. /6/0 a = 0.

Versuch mit der Ersten und Vierten, da sonst nichts anderes geht.

$\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

3 = a*3^3 + b * 3^2

3 = 27a + 9b

0 = 3a + 2b /*9

0 = 27a + 18b

Subtrahieren

3 = -9b /9

b = -1/3

$\begin{eqnarray*} 0 = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

Es geht nicht da ich 0 erhalte, da x = 0..

02.12.2012, 09:29

Tipso

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Neuer Versuch:

c = 0

d = 0

Mit (2) und (3) kann ich leider nicht mehr weiter rechnen..
Verstehe nicht warum.
Aber a und b werden immer zu null, obwohl ich eigentlich mit allem weiterrechnen können müsste.

1. f(1/2) = 3

2. f'(0) = 0

3. f''(1/2) = 0

4. f(0) = 0

$\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

1. 3 = 0,125a + 0,25b /*24

72 = 3a + 6b

0 = 3a + 2b

Subtrahieren

72 = 4b

b = 18

Vom Rechenweg müsste es stimmen, es ist jedoch laut Lösungsbuch falsch.

02.12.2012, 11:50

Equester

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Dass dein erster Post nicht zum Ziel führen kann, liegt daran, dass du behauptest: 3. f''(1/2) = 0 = b,
was aber nicht stimmt.

Dein zweiter Post passt aber Freude

. b=18 ist richtig (oder was sagt die Lösung?).
Auch richtig sind c=d=0. Was ist also a?

02.12.2012, 12:11

Tipso

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Mein Lösungsbuch gibt als

$\begin{eqnarray*} y= -\frac{x^3}{3} + x^2 \end{eqnarray*}$

Edit:
Nach genauerem nachsehen habe ich meinen Fehler entdeckt.
w(1/(2/3)

Jetzt weiß ich wo mein Fehler war, weshalb ich die Aufgabe mit diesen Werten fertigrechnen werde.

2. Frage

Warum erhalte ich b nicht durch die Gleichung 2 oder 4 sondern nur durch 1 oder 3?

3. Frage

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ aber nicht mit einem horizontalen ist gleich Zeichen darunter sondern einem diagonalen?

4.

Berechnung von a und Lösung.

Eigentlich müsste ich aus jeder Gleichung mein a erhalten.

1. 3 = 0,125a + 0,25*18

2. 0 = 3 * a* 0^2 + 2 * 18*0

3. 0 = 3a

4. 0 = a *0^3 + 18 * 0^2

Ergebnis:

1. a = 5,3333

3. a = 0

Welches ist nun warum richtig?

lg

EDIT:
Ich habe b = 0 genommen. Bin gerade am neu berechnen und edieren.

02.12.2012, 12:28

Tipso

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Mit diesen Werten meine ich die Werte die wir bis jetzt verwendet haben.

lg

02.12.2012, 12:31

Equester

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Also zu dem Wendepunkt W(1/2|3)...das war alles richtig am Ende. a wäre -12 gewesen.

Zu der neuen Aufgabe. Rechne sie nochmals sauber durch.

Zitat:

3. Frage

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ aber nicht mit einem horizontalen ist gleich Zeichen darunter sondern einem diagonalen?

Ich glaube das hatten wir schon mit den Intervallen, falls du dich erinnerst. Einmal ist die Zahl mit dabei,
einmal ist genau diese Zahl nicht mitdabei.

Du kennst Wurzeln und Logarithmen? Bei ersterem ist es doch so, dass man nur etwas sinnvolles
erhält, wenn der Radikand positiv ist oder 0.
Bei den Logarithmen ist es so, dass man nur etwas sinnvolles erhält, wenn der Numerus positiv ist!
Er darf nicht 0 sein!

Also einmal darf $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ sein (Bei den Wurzeln). Und einmal ist $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ bei
den Logarithmen Augenzwinkern

02.12.2012, 12:32

Equester

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Zitat:

Original von Tipso
Mit diesen Werten meine ich die Werte die wir bis jetzt verwendet haben.

lg

Hmm?

Da du b=0 angenommen hast, erübrigen sich ja deine Fragen. Die Annahme ist ja falsch.
So wie du oben gerechnet hattest, war es korrekt.

02.12.2012, 12:33

Tipso

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hi nochmal,

Wie erhältst du -12 für den a-Wert?

Erhälst du diese auch mit jeder Gleichung, 1, 2, 3, 4?

lg

02.12.2012, 12:37

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Mein Lösungsbuch gibt als

$\begin{eqnarray*} y= -\frac{x^3}{3} + x^2 \end{eqnarray*}$

2. Frage

Warum erhalte ich b nicht durch die Gleichung 2 oder 4 sondern nur durch 1 oder 3?

3. Frage

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ aber nicht mit einem horizontalen ist gleich Zeichen darunter sondern einem diagonalen?

4.

Berechnung von a und Lösung.

Eigentlich müsste ich aus jeder Gleichung mein a erhalten.

1. 3 = 0,125a + 0,25*18

2. 0 = 3 * a* 0^2 + 2 * 18*0

3. 0 = 3a

4. 0 = a *0^3 + 18 * 0^2

Ergebnis:

1. a = 5,3333

3. a = 0

Welches ist nun warum richtig?

lg

Ich meine das hier.

lg

02.12.2012, 12:44

Equester

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Zur ersten Frage: Ja, das erhalte ich mit jeder deiner Gleichungen.

Zitat:

1. 3 = 0,125a + 0,25b /*24

72 = 3a + 6b

0 = 3a + 2b

(Dabei spreche ich von diesen)

Zitat:

1. 3 = 0,125a + 0,25*18

2. 0 = 3 * a* 0^2 + 2 * 18*0

3. 0 = 3a

4. 0 = a *0^3 + 18 * 0^2

Da du hier schon von b=0 ausgehst (was ja falsch ist), wüsste ich nicht, was da noch deine Frage ist?
Der Fehler liegt ja schon in der Annahme, dass b=0 ist?

02.12.2012, 12:54

Tipso

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Hi,

Diese sind aber schon verbesserte gewesen wo ich b mit 18 angegeben habe.

Zitat:

Erneuter Versuch:

(1)

3 = a*0,125 + 18*0,25

a = 5,3333

(2)

0 = 3*a*0^2 + 2 * 18 * 0 + 0

Hier setze ich für x- 0 und für c = 0 ein.

0 = 0

(3)

0 = 3a + 36

a = - 12

(4)

0 = 0
ähnliches Problem wie bei (2)
x = 0 weshalb a und b auch null ist, c ü d sind sowieso 0.

lg

02.12.2012, 13:10

Equester

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Bei 2 und 4 kannst du eben keine Aussage treffen über a und b.
Aber das 0=0 dasteht ist ja ein gutes Zeichen, da bisher dann ja noch nichts falsch ist.

bei 1 musst du nochmals rechnen, da hast du dich verrechnet Augenzwinkern

02.12.2012, 13:18

Tipso

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Stimmt.

(1)

3 = a*0,125 + 18*0,25

3 = a*0,125 + 4,5 /-4,5/0,125

a = -12

Lösung:
$\begin{eqnarray*} y = -12x^3 + 18x^2 \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe. Freude

02.12.2012, 13:22

Equester

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Yup, jetzt passts smile

02.12.2012, 13:27

Tipso

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Eine letzte Frage noch zum Verständnis und zur Probe?

Wie würdest du dies einem Anfänger auf die schnelle erklären?
Wie mache ich eine Probe um sicher zu gehen das alles stimmt?

lg

02.12.2012, 13:31

Equester

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Des Verständnisses wegen würde ich meine Worte aus dem anderen Thread wiederholen:

Zitat:

Original von Equester
Ok vllt ein paar Anregungen zum Nachdenken (fürs Verständnis).

Du hast eine Funktion eines bestimmten Grades zu bestimmen. Das ist mal die erste Wichtigkeit.
Hier ist das schon vorgegeben gewesen. Eine Funktion 3ten Grades fordert das finden von 4 Parametern
(Also immer ein Parameter mehr, wie der Grad der Funktion lautet).
Du hattest hier Glück und ein Parameter war schon gegeben.

Bleiben also 3 Parameter zu bestimmen. Diese Parameter findest du dank der Informationen aus dem Text.
Dabei gilt es auf die Hauptmerkmale zu schauen.
Gerne werden angegeben:
-Punkte (die teilweise noch bestimmt werden müssen, wie bei uns), wobei du dafür die Funktion
selbst nimmst, als f(x).
-Steigungen: Hier nimmst du die erste Ableitung also f'(x). Gerne wird auch das Wort "Steigung"
nicht benutzt, ist aber häufig hinter der Aussage "Wir haben hier und dort einen Extrempunkt".
Da ist ja unsere Steigung 0! Augenzwinkern

-Wendepunkte: Hier arbeiten wir mit der zweiten Ableitung f''(x). Nach Bedingung muss diese ja
0 sein.

Das sind die drei wichtigsten Bedingungen, die aus einem Text rausgelesen werden können und die
musst du erstmal suchen. Hast du sie gefunden, dann die Bedingungen so aufstellen wie wir
es gemacht haben und lösen Augenzwinkern

Die Bedingungen handhaben zu können, bedeutet natürlich diese auch zu kennen! Ich würde dem
Anfänger also raten diese sich anzueignen Augenzwinkern

.

Zur Probe: Schaue nach, ob alle Bedingungen für die gefundene Funktion erfüllt sind.

02.12.2012, 23:48

Tipso

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Dann fange ich mal mit meiner Probe an:

1. f(1/2) = 3

2. f'(0) = 0

3. f''(1/2) = 0

4. f(0) = 0

$\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3ax^2 + 2bx + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

a = - 12
b = 18
c = 0
d = 0

1.

3 = -12*(1/2)^3 + 18*(1/2)^2

3 = 12. -0,125 + 18*0,25

3 = -1,5 + 4,5

3 = 3

2.

0 = 3*12*0^2 = 2*18*0

0 = 0

3.

0 = 6*-12*(1/2) + 18 *(1/2)

0 = 0

4.

0 = -12*0^3 + 18*0^2

0 = 0

lg

02.12.2012, 23:56

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte das zwar eher anders gemeint,
nämlich dass du deine Funktion f(x)=-12x³+18x nimmst und dann die Eigenschaften überprüfst.
Aber im Endeffekt kommts aufs gleiche raus.

Auch wenn du noch einige (Schreib-)fehler drin hast.
Um nur mal zwei aufzuzählen:

0 = 6*-12*(1/2) + 18 *(1/2)

0 = 3*12*0^2 = 2*18*0

03.12.2012, 00:12

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Eigenschaften überprüfen meinst du Extermp. und Wendepunkt berechnen nehme ich an.

lg

03.12.2012, 09:34

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Funktion f(x)=-12x³+18x nehmen und schauen ob das passt

Zitat:

O(0/0) einen Extrempunkt und in W((1/2/3) den Wendepunkt.

D.h. untersuchen ob die beiden Punkte auf dem Graphen liegen und ob diese die jeweiligen
Eigenschaften erfüllen.

03.12.2012, 15:38

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

25.12.2012, 23:18

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester

Zitat:

Hier arbeiten wir mit der zweiten Ableitung f''(x). Nach Bedingung muss diese ja
0 sein.

Hallo,

Diesen Punkt habe ich leider noch nicht verstanden.

Ich setze die zweite Ableitung 0 und erhalte die Wendepunkte.

Ich habe nun den Wendepunkt $\begin{eqnarray*} W\left(\frac{1}{2} / 3\right) \end{eqnarray*}$ .

Demnach habe ich doch die Bedingung:

$\begin{eqnarray*} y''\left(0\right) = \left(\frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} y'' \left(\frac{1}{2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$

lg

25.12.2012, 23:25

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Es heißt doch "f''(x)", also x=1/2. Und f''(x)=y''=0, also hat nichts mehr direkt mit dem x zu tun.

$\begin{eqnarray*} y'' \left(\frac{1}{2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ passt also sehr wohl Augenzwinkern

25.12.2012, 23:33

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe es leider überhaupt nicht.

Ich setze in die 2 Ableitung 0 hinein und erhalte 1/2.

Diese gebe ich dann als Bedingung an.

Aber ich verstehe einfach nicht, warum du es umgekehrt machst.
Weil ich es bei den anderen Bedingungen auch so gemacht habe.

lg

25.12.2012, 23:50

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich setze in die 2 Ableitung 0 hinein und erhalte 1/2.

Nein, wenn du in die zweite Ableitung 0 einsetzt, bekommst du doch nicht 1/2 raus?
Ich zumindest nicht.

Wir wissen, dass an der Stelle x=1/2 ein Wendepunkt vorliegt. Nach Bedingung, muss
also an der Stelle x=1/2 die zweite Ableitung 0 sein.
Und nicht etwa andersrum, dann wären wir an der Stelle 0, wozu die Information
aber gar nichts aussagt!

25.12.2012, 23:57

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Ich setze in die 2 Ableitung 0 hinein und erhalte 1/2.

Nein, wenn du in die zweite Ableitung 0 einsetzt, bekommst du doch nicht 1/2 raus?
Ich zumindest nicht.

Ich muss die erste Ableitung 0 setzen damit ich die Extremstellen erhalte.
1/2 ist eines davon.

Zitat:

Wir wissen, dass an der Stelle x=1/2 ein Wendepunkt vorliegt. Nach Bedingung, muss
also an der Stelle x=1/2 die zweite Ableitung 0 sein.
Und nicht etwa andersrum, dann wären wir an der Stelle 0, wozu die Information
aber gar nichts aussagt!

Langsam verstehe ich es.

Danke.
G8

26.12.2012, 00:09

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn du die erste Ableitung 0 setzt, bekommst du da nicht 1/2 raus.

Wie im anderen Thread schon formuliert. Schlage die Bedingungen die an einen Extrempunkt
und Wendepunkt gesetzt werden, nochmals nach.

26.12.2012, 17:31

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Auch wenn du die erste Ableitung 0 setzt, bekommst du da nicht 1/2 raus.

Wie im anderen Thread schon formuliert. Schlage die Bedingungen die an einen Extrempunkt
und Wendepunkt gesetzt werden, nochmals nach.

Aber wenn ich 1/2 einsetze erhalte ich 0.

Ich habe hier einfach einen Denk bzw. Verständnis Fehler.

lg

26.12.2012, 17:42

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig mir mal, wo du 1/2 einsetzt.
Da sind doch überall noch die Parameter a,b,c etc. Wie kommst du da auf 0?

26.12.2012, 17:50

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 6(-12)x + 2*18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber 0 einsetze:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = 2*18 \end{eqnarray*}$

lg

26.12.2012, 17:55

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Also da passt jetzt nicht so viel.

Du willst doch erst mal die Bedingungen aufstellen, hast hier aber schon a und b eingesetzt verwirrt

.
Außerdem behauptest du, dass die zweite Zeile beide Seiten 0 sind. Dabei hast du doch noch
ein x mit im Spiel. Es kommt auf das x an, wann die rechte Seite 0 ist und damit der linken entspricht!

Auch stimmts nicht, dass da
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = 2*18 \end{eqnarray*}$
für x=0 rauskommt. Da steht dann einfach 0=2*18 und ist einfach falsch.

Deswegen passt das auch gar nicht was du hier vorhast.

Wie gerade im anderen Thread formuliert. Um deine Bedinungen aufzustellen nimmst du die
Bedingungen die für Extrema und Wendepunkte gelten. Das ist nunmal unter anderem f'(x)=0 (EP)
und f''(x)=0 (WP) etc..

Ok? smile

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