Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus)

01.12.2012, 16:22

LoLi93

Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus)

Meine Frage:
Hey, habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum; f,g:V->V Endomorphismen mit fof=f und gog=g. Zeigen Sie:
a) Bild(f) Schnitt Kern(f) = {0}
b) gof=f und fog=g <=> Bild(f) = Bild(g)
c) gof=g und fog=f <=> Kern(f)=Kern(g)

Meine Ideen:
a) Sei x im Folgenden sowohl Element von Ker(f), als auch von Bild(f). Dann existiert y in V mit f(y)=x (wobei x,y Element von V). und es gilt: f(x)=0 (da x E Ker(f)SCHNITT Bild(f))
=> 0 = f(x), da x=f(y) folgt: f(x)=f(f(y)), da fof=f folgt: f(f(y))=f(y) und da f(y)=x folgt: f(y)=x, also: x=0
=> f(x)=0=x, d.h. Bil(f) SCHNITT Kern(f) = {0}

b) (1.) gof=f und fog=g => Bild(f)=Bild(g)
(gof)(x)=g(f(x))=g(y), mit f(x)=y
(fog)(x)=f(g(x))=f(y), mit g(x)=y daraus folgt: y=f(x)=g(x) und daraus folgt: Bild(f)=Bild(g)
(2.) Bild(f)=Bild(g)=> gof=f und fog=g
Ist Bild(f)=Bild(g), so gilt y=f(x)=g(x).
Da gilt fof=f und gog=g => f(f(x))= f(x) und g(g(x))=g(x)
da gilt f(x)=g(x), kann man f(x) mit g(x) vertauschen. Daraus folgt: f(g(x))=g(x) und g(f(x))=f(x) <=> fog=g und gof=f

c)(1.) gof=g und fog=f => Kern(f)=Kern(g)
(gof)(x)=g(f(x))=g(x) für f(x)=x
(fog)(x)=f(g(x))=f(x) für g(x)=x, => f(x)=x=g(x)
=> Kern(g)=Kern(f)
(2.) Kern(f)=Kern(g)=>gof=g und fog=f
Wenn Kern(f)=Kern(g) gilt, so folgt: f(x)=x und g(x)=x, also g(x)=x=f(x).
Es gilt: fof=f => f(f(x))=f(x)
und gog=g => g(g(x))=g(x). Da g(x)=f(x), kann man beides durch das jeweilige andere ersetzen, daraus folgt: f(g(x))=f(x) un g(f(x))=g(x) => gof=g und fog=f

Wäre super wenn jemand mal kurz drüber schaut und mir sagt, ob das so passt oder ob ich es falsch gemacht habe. Vielen Dank smile

01.12.2012, 20:46

Elvis

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Nein, das macht keinen Spaß. Bitte benutze LATEX. Das findest Du hier unter Werkzeuge und heißt "Formeleditor". Als Button steht das oben und heißt "f(x)" .

02.12.2012, 14:12

LoLi93

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RE: Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus)
Ich kenne mich aber überhaupt nicht mit Latex aus unglücklich

02.12.2012, 14:20

Peter Lustig

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RE: Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus)

Zitat:

Original von LoLi93
Ich kenne mich aber überhaupt nicht mit Latex aus unglücklich

Ist wirklich nicht schwierig mit Latex. Ich kenne mich damit auch so gut wie gar nicht aus.
Aber im Formeleditor wird dir ja (fast) alles genau vorgegeben Augenzwinkern

Und wenn dir irgend ein Symbol fehlt, einfach schnell nach der Bezeichnung googlen.

02.12.2012, 14:43

LoLi93

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RE: Bild und Kern lineare Abbildung (mit Endomorphismus)
a) Sei x im Folgenden sowohl $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Ker(f), als auch $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Bild(f). Dann existiert y in V mit f(y)=x (wobei x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V). und es gilt: f(x)=0 (da x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Ker(f) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Bild(f))
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 = f(x), da x=f(y) folgt: f(x)=f(f(y)), da fof=f folgt: f(f(y))=f(y) und da f(y)=x folgt: f(y)=x, also: x=0
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(x)=0=x, d.h. Bil(f) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ Kern(f) = {0}

b) (1.) gof=f und fog=g $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Bild(f)=Bild(g)
(gof)(x)=g(f(x))=g(y), mit f(x)=y
(fog)(x)=f(g(x))=f(y), mit g(x)=y $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ y=f(x)=g(x) und $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Bild(f)=Bild(g)
(2.) Bild(f)=Bild(g) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ gof=f und fog=g
Ist Bild(f)=Bild(g), so gilt y=f(x)=g(x).
Da gilt fof=f und gog=g $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(f(x))= f(x) und g(g(x))=g(x)
da gilt f(x)=g(x), kann man f(x) mit g(x) vertauschen. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(g(x))=g(x) und g(f(x))=f(x) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ fog=g und gof=f

c)(1.) gof=g und fog=f $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Kern(f)=Kern(g)
(gof)(x)=g(f(x))=g(x) für f(x)=x
(fog)(x)=f(g(x))=f(x) für g(x)=x, => f(x)=x=g(x)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Kern(g)=Kern(f)
(2.) Kern(f)=Kern(g) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ gof=g und fog=f
Wenn Kern(f)=Kern(g) gilt, so folgt: f(x)=x und g(x)=x, also g(x)=x=f(x).
Es gilt: fof=f $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(f(x))=f(x)
und gog=g $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ g(g(x))=g(x). Da g(x)=f(x), kann man beides durch das jeweilige andere ersetzen, daraus folgt: f(g(x))=f(x) und g(f(x))=g(x) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ gof=g und fog=f

Ich hoffe das passt jetzt so Big Laugh

Habe das Verknüpfungssymbol zwar gefunden, aber das Zeichen wird hier irgendwie nicht erkannt.

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