lineare Abbildung

01.12.2012, 19:09

Deckel

lineare Abbildung

Hallo Matheboard user smile

Ich stehe vor folgender Aufgabe:

Für welche Werte von t gibt es eine lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,...,3 \end{eqnarray*}$

wobei: $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} w_2=t \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} w_3=2t \end{eqnarray*}$ ?

Mein Problem besteht darin, dass ich nun nicht weiss wie ich vorgehen soll.

Zu prüfen ist ja normalereweise folgendes:

(I) $\begin{eqnarray*} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray*}$

(II) $\begin{eqnarray*} f(\lambda a)=\lambda f(a) \end{eqnarray*}$

Da ich hier allerdings keine konkrete Abbildungsvorschrift habe, sondern die Bilder für feste $\begin{eqnarray*} f(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ gegeben sind, kann ich die Aufgabe nicht einfach so lösen.

Eine Ansatzidee wäre sehr nett,
mfg. Deckel

01.12.2012, 19:54

Dangalf

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Wende $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 3v_1 = v_2 + v_3 \end{eqnarray*}$ an.

01.12.2012, 21:04

Dose

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Zitat:

Wende $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 3v_1 = v_2 + v_3 \end{eqnarray*}$ an.

Okay ich probiers mal.

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) = f(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}) + f(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Wir wissen ja das:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}) + f(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix})= 3t \end{eqnarray*}$

Also muss auch:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) = f(3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = 3 \cdot f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = 3=3t \end{eqnarray*}$ entsprechen

Das gilt für t=1.

Also gibt es eine lineare Abbildung mit t=1. So würde ich es nun machen.

Ist das so richtig, immerhin habe ich hier bereits verwendet das f linear ist. Ist das okay, weil wir t ja so bestimmen sollen, dass f linear ist oder darf ich die Eigenschaft dennoch nicht verwenden ?

Mfg. Dose

01.12.2012, 21:23

Dangalf

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Es ist gut, dass Du ein ungutes Gefühl dabei hast Augenzwinkern

. Du hast bisher korrekt gezeigt: "Wenn f linear sein soll, dann muss t = 1 sein." Deswegen darfst Du die Linearität voraussetzen, denn Du leitest damit eine notwendige Bedingung für t her. Jetzt musst Du noch schauen, ob f für t = 1 tatsächlich eine lineare Funktion ist, d. h. ob t = 1 auch hinreichend ist.
Dafür würde ich mir mal die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} b_1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2 := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray*}$ ausdrücken, dann $\begin{eqnarray*} f(b_1), f(b_2) \end{eqnarray*}$ bestimmen und schließlich kannst Du $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ direkt angeben und die Linearität beweisen.

01.12.2012, 22:36

Dose

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Hi, danke ich habe es hinbekommen.
Der Schluss war nun nicht mehr wirklich schwer.
Es hat auch alles funktioniert.

Vielen dank für deine Hilfe,
mfg. Dose Wink

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