Ring Elemente

01.12.2012, 21:12

strat

Ring Elemente

Meine Frage:
Sei R ein Ring, sodass $\begin{eqnarray*} a^3+a=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} a^2=a \end{eqnarray*}$ für alle Elemente $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bin noch Anfänger.

Habe herumprobiert, wie z.B.
$\begin{eqnarray*} a^3+a=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a^3=-a \end{eqnarray*}$
und wegen der zweiten Vorauss. wäre dann
$\begin{eqnarray*} a^3\cdot a^3=a \end{eqnarray*}$ , woraus folgt $\begin{eqnarray*} -a\cdot -a=a \end{eqnarray*}$ .

Aber das ist sicher nicht richtig. Wie ist denn $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ gemeint? Ist das $\begin{eqnarray*} a\cdot a \cdot a? \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 11:07

Elvis

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Das is sachlich völlig richtig, nur musst du schreiben $\begin{eqnarray*} (-a)\cdot (-a)=a \end{eqnarray*}$ Lehrer

Ja klar : $\begin{eqnarray*} a^3=a\cdot a \cdot a \end{eqnarray*}$

Stop: wieso ist $\begin{eqnarray*} a^3\cdot a^3=a \end{eqnarray*}$ verwirrt

02.12.2012, 11:37

strategic

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War geraten. Dachte wegen $\begin{eqnarray*} a^2=a \end{eqnarray*}$ könnte auch $\begin{eqnarray*} (a^3)^2=a \end{eqnarray*}$ sein...

Komme nicht auf die Lösung.

02.12.2012, 13:17

tmo

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Ich frage mich von welcher "zweiten Voraussetzung" du die ganze Zeit sprichst? verwirrt

Hier mal mein Lösungsvorschlag:

Zunächst sollte man zeigen, dass der Ring Charakteristik 2 hat. Das kriegst du selbst hin.

Danach sollte man mal $\begin{eqnarray*} (a+1)^3 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

02.12.2012, 15:43

strategic

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Du überschätzt mich,
wir haben gerade erst mit Ringen angefangen und jetzt soll ich schon Char beweisen können.
Ist wirklich frustrierend ständig überfragt zu sein bei jeder Hausaufgabe.

..Aber zurück zum Notwendigen:

Char ist, wenn ich es richtig verstanden habe, die Anzahl von 1 die mit sich selbst additiv verknüpft die Null ergeben. $\begin{eqnarray*} 1+1++1+...=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (a^3)+a=0 \end{eqnarray*}$
Wegen des Distributivgesetzes darf ich auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} (a+a)(a+a)(a+a)=0 \end{eqnarray*}$
D.h. einer der Faktoren, und wegen Gleichheit auch alle müssen gleich Null sein.
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} a+a=0. \end{eqnarray*}$

Gerade überlege ich, da du sagtest Char sei 2, ob a dann 1 ist. Aber wieso, a könnte auch 0 sein oder sein eigenes Inverses etc.

-

$\begin{eqnarray*} a^3= a*a*a \end{eqnarray*}$ wurde mir oben gesagt, also multiplikativ verknüpft. Ist das eine Konvention? Oder kann $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ auch mal als additive verknüpfung $\begin{eqnarray*} a+a+a \end{eqnarray*}$ gemeint sein?

-
$\begin{eqnarray*} (a+1)^3=a^3+3a^2+3a+1 \end{eqnarray*}$

Was soll mir das sagen?

Wenn ich annehme $\begin{eqnarray*} a^3+a=0 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} a^3=-a \end{eqnarray*}$

könnte ich da weiterrechnen:

= $\begin{eqnarray*} -a+3a^2+3a+1 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 3a^2+a+a+1 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} a+a=0 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 3a^2+1 \end{eqnarray*}$ .

unglücklich

02.12.2012, 19:07

tmo

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Zitat:

Original von strategic
wir haben gerade erst mit Ringen angefangen und jetzt soll ich schon Char beweisen können.

Daran solltest du dich gewöhnen. Aber unabhängig davon ist die Charakteristik eines Ringes doch kein kompliziertes Konzept.

Wie du selbst schon gesagt hast, hat die Charakteristik was mit der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ zu tun.

Wenn wir nun die Aussage $\begin{eqnarray*} a^3+a=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ haben, welchen speziellen Wert sollten wir dann wohl für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einsetzen, wenn wir etwas über die Charakteristik herausfinden wollen?

02.12.2012, 21:47

strategic

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Zitat:

Original von tmo
Wenn wir nun die Aussage $\begin{eqnarray*} a^3+a=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ haben, welchen speziellen Wert sollten wir dann wohl für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einsetzen, wenn wir etwas über die Charakteristik herausfinden wollen?

...Hast du dir dabei ins Fäustchen gelacht, als du das schriebst? Big Laugh

(Danke für den Lacher!)

Zur Aufgabe:
Ok, du willst mir wohl nahelegen die 1 einzusetzen. Dann ergibt sich a^2=a natürlich auch von selbst.

Fragt sich aber, ob ich einfach annehmen darf, dass R ein Einselement enthält.

Und jetzt entsteht eine neue Frage: Wenn ein Ring kein Einselement hat, ist dann automatisch Char=0?

Würde die Aufgabe noch Sinn machen, wenn R ohne 1 gemeint ist?

02.12.2012, 22:09

tmo

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Ich bin einfach mal davon ausgegangen, dass der Ring eine Eins enthält. Davon geht man eigentlich meistens aus.

Ob die Aussage in Ringen ohne Eins immer noch richtig ist, kann ich dir jetzt spontan nicht sagen. Ich würde mich daher erstmal darauf beschränken, den Beweis für einen Ring mit Eins zu geben.

02.12.2012, 22:26

strategic

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Ok, dann mache ich das. Vielleicht kriege ich trotzdem Punkte drauf.
Danke für deine Hilfe.

03.12.2012, 09:20

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
Ob die Aussage in Ringen ohne Eins immer noch richtig ist, kann ich dir jetzt spontan nicht sagen.

Naja, zunächst einmal durchlaufen die Potenzen von a einen Zyklus der Maximallänge 4, wegen

$\begin{eqnarray*} a,a^2,a^3=-a,a^4=-a^2,a^5=a,a^6=a^2,\ldots \end{eqnarray*}$

Tatsächlich hat der Zyklus aber die Länge 1... Um das zu sehen bemerken wir zunächst, dass gilt

$\begin{eqnarray*} -((2a)^3+2a)=6a=0 \end{eqnarray*}$

d.h., die Charakteristik des Rings muss ein Teiler von 6 sein. Insbesondere sind Elemente der Form
3a selbstinvers bezüglich der Addition. Genau das werden wir aber gleich brauchen, denn es gilt weiter

$\begin{eqnarray*} (a^2+a)^3+a^2+a=a^6+3a^5+3a^4+a^3+a^2+a=a^2+3a-3a^2-a+a^2+a=-a^2+3a=0 \end{eqnarray*}$

d.h., es ist

$\begin{eqnarray*} 3a=a^2 (*) \end{eqnarray*}$

und damit nach obigem $\begin{eqnarray*} a^2=-a^2 \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} a^3=-a^3 \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} a=-a \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich ist also die Charakteristik des Rings 2 und (*) vereinfacht sich damit schlußendlich zu $\begin{eqnarray*} a=a^2 \end{eqnarray*}$ , q.e.d.

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