Rechenregeln Limsup/inf

02.12.2012, 18:48

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechenregeln Limsup/inf

Hallo,
ich soll zeigen:
$\begin{eqnarray*} \limsup \limits_{n \to \infty} (a_n +b_n) \leq \limsup \limits_{n \to \infty} (a_n)+ \limsup \limits_{n \to \infty} (b_n) \end{eqnarray*}$

Ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch.
Ich habe : Sei a der Limsup von a_n und b der Limsup von b. Dann gilt nach der Definition des Limsup/inf:
$\begin{eqnarray*} a_n \leq a + \epsilon \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b_n \leq b + \epsilon \end{eqnarray*}$ für endlich viele n

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} a_n + b_n \leq a + b + 2 \epsilon \end{eqnarray*}$

Womit die Ungleichung bewiesen ist? (Dickes Fragezeichen ) smile

smile

02.12.2012, 19:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Gib der linken Seite doch mal den Namen $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das dann für die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n+b_n)_n \end{eqnarray*}$ ?
"Es existiert eine ..."

02.12.2012, 19:48

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
$\begin{eqnarray*} c = \limsup \limits_{n \to \infty} (a_n + b_n) \end{eqnarray*}$

Es existiert eine Konstante N, sodass für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (a_n + b_n)_n < c + \epsilon \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 19:57

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Vergiss das dämliche $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Das war gerade sowieso falsch. (zu jedem Epsilon gibt es ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , ...)

Benutze lieber Teilfolgen.

02.12.2012, 20:06

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Ok ...

Dann existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ , die gegen c konvegiert, d.h. für alle Epsilon (..) existiert ein k_0 sodass für alle $\begin{eqnarray*} k \ge k_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \left| c_k - c \right| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich wieder das Epsilon verwendet. Aber ich weiß mir nicht anders zu helfen. unglücklich

unglücklich

02.12.2012, 20:45

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Diese Teilfolge reicht ja schon.
Die kannst du aber auch als $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}+b_{n_k}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a_{n'}+b_{n'}) \end{eqnarray*}$ schreiben. (welche Variante ist dir lieber?)

Anzeige

02.12.2012, 20:52

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Jo nehmen wir erstere.

02.12.2012, 20:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Na dann betrachte mal die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{n_k}) \end{eqnarray*}$ . Was kannst du mit denen anfangen?

02.12.2012, 21:02

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Naja ich kann sie gliedweise addieren.
Was mich aber wundert, dass die Summe kleiner aber auch größer als der Summand (a_nk oder b_nk)sein kann, wenn ich mich nicht irre...

02.12.2012, 21:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Was soll kleiner/größer als was sein?

Naja, wenn du nur eine der beiden Teilfolgen betrachtest: In welcher Verbindung steht deren Grenzwert dann zum Limes Superior der gesamten Folge?

02.12.2012, 21:37

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf

Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, wenn du nur eine der beiden Teilfolgen betrachtest: In welcher Verbindung steht deren Grenzwert dann zum Limes Superior der gesamten Folge?

Deren Limsup kann größer, gleich oder kleiner sein als der Limsup der gesamten Folge.

02.12.2012, 21:39

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Nö. Wie sollte denn der Limes Superior einer Teilfolge größer sein als der der gesamten Folge?

02.12.2012, 21:41

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
okok Nur kleiner gleich.

02.12.2012, 21:44

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Und wie geht es dann also weiter?

02.12.2012, 21:48

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Darf ich das erstmal so als Formel schreiben:
$\begin{eqnarray*} \limsup \limits_{k \to \infty} a_{n_k} \leq \limsup \limits_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \limsup \limits_{k \to \infty} b_{n_k} \leq \limsup \limits_{n \to \infty} b_{n} \end{eqnarray*}$

Korrekt?

02.12.2012, 21:52

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Und daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \limsup \limits_{k \to \infty} (a_{n_k} + b_{n_k}) \leq \limsup \limits_{n \to \infty} a_{n} + \limsup \limits_{n \to \infty} b_{n} \end{eqnarray*}$

Edit:
Ne stimmt nicht, sehe ich gerade. Eher so:
$\begin{eqnarray*} \limsup \limits_{k \to \infty} a_{n_k} + \limsup \limits_{k \to \infty} b_{n_k} \leq \limsup \limits_{n \to \infty} a_{n} + \limsup \limits_{n \to \infty} b_{n} \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 22:17

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Die Folgen der $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n_k} \end{eqnarray*}$ konvergieren sogar.

02.12.2012, 22:22

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
ehm ... könntest du den Satz anders formulieren?
Die FolgEN von a_nk .... a_nk ist doch genau eine Teilfolge. Edit : Unsinn.. warte muss nochmal überlegen

02.12.2012, 22:24

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
$\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ ist eine Folge. Und zwar die Folger der Glieder $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nach Wunsch also anders formuliert:
Die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_{n_k}) \end{eqnarray*}$ konvergieren sogar.

02.12.2012, 22:30

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Also meinst du:
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{k \to \infty} a_{n_k} + \lim \limits_{k \to \infty} b_{n_k} \leq \limsup \limits_{n \to \infty} a_{n} + \limsup \limits_{n \to \infty} b_{n} \end{eqnarray*}$ (?)

02.12.2012, 22:32

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Genau. Denn der Grenzwert einer Teilfolge ist ja logischerweise kleiner gleich dem Supremum über alle Teilfolgengrenzwerte.

02.12.2012, 22:40

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{k \to \infty} a_{n_k} + \lim \limits_{k \to \infty} b_{n_k} = \end{eqnarray*}$ (wegen Grenzwertsätze)

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{k \to \infty} (a_{n_k} + b_{n_k}) = \end{eqnarray*}$ (wegen liminf = limsup = lim für konvergente Folgen)

$\begin{eqnarray*} \limsup \limits_{k \to \infty} (a_{n_k} + b_{n_k}) \leq \end{eqnarray*}$ (wegen obiger Ungleichung)

$\begin{eqnarray*} \leq \limsup \limits_{n \to \infty} a_{n} + \limsup \limits_{n \to \infty} b_{n} \end{eqnarray*}$

Edit: Nee... haut noch nicht ganz hin

02.12.2012, 22:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Eher
$\begin{eqnarray*} \limsup(a_n+b_n)=\lim a_{n_k}+\lim b_{n_k}\leq\limsup a_n+\limsup b_n\,. \end{eqnarray*}$

02.12.2012, 23:03

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Das Gleichheitszeichen verstehe ich gerade nicht ...

02.12.2012, 23:06

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Das haben wir so definiert...

02.12.2012, 23:18

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Ich glaube ich komme jetzt durcheinander:
$\begin{eqnarray*} \limsup(a_n+b_n) = \limsup \limits_{k \to \infty} (a_{n_k} + b_{n_k}) \end{eqnarray*}$

Stimmt denn das?

02.12.2012, 23:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Ja. Jetzt haben wir aber $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}+b_{n_k}) \end{eqnarray*}$ sogar konvergent gewählt.

02.12.2012, 23:23

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Also
$\begin{eqnarray*} \limsup(a_n+b_n) = \limsup \limits_{k \to \infty} (a_{n_k} + b_{n_k}) = \lim \limits_{k \to \infty}(a_{n_k} + b_{n_k}) \end{eqnarray*}$

Edit: wobei das doch nicht stimmen kann, denn der Grenzwert einer Teilfolge ist kleiner gleich dem Supremum von den Grenzenwerten aller Teilfolgen

02.12.2012, 23:49

Nilradikal

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechenregeln Limsup/inf
Achso, oder ist das 2 . Gleichheitszeichen darauf zurückzuführen, weil wir sagen, wir betrachten alle konvergenten Teilfolgen, weshalb der lim sup = lim ist

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »