Abbildungsmatrix bestimmen

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Anahita Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix bestimmen
Ich verstehe einfach das Thema zu Abbildungsmatrizen überhaupt nicht :*-(

Ich habe folgende Abbildung: f: R^3 -> R^3

mit f(x,y,z) = (x, x+y, x+2y+z)

Man soll die zu f gehörige Matrix bezüglich der Basis: (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1) bestimmen.

Dann bestimme ich erstmal Folgendes:

f(1,1,0) = (1,2,3)

f(0,1,1) = (0, 1,3)

f(1,1,1) = (1,2,4)

Diese Vektoren bilden nun noch nicht die Spalten der Abbildungsmatrix, da man für die Abbildungsmatrix die Komponenten der Matrix immer bezüglich der Standardbasis bestimmt? Ist diese Argumentation richtig?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt durch Deine Berechnungen schonmal die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis bestimmt, nämlich . Nun gilt für jede Basis , dass . Wie kriegst Du erstmal die Matrix ?
 
 
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Hi :-)

Wart aber was ich jetzt schon nicht verstehe: Warum habe ich denn die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis bestimmt? :/
Als Argumente habe ich ja nicht die Basisvektoren der Standardbasis verwendet sondern diese "speziellen" Basisvektoren ://
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, da hatte ich falsch hingesehen. Mein Vorgehen wäre richtig gewesen, wenn Du zunächst die Bilder bezüglich der Standardbasis bestimmt hättest.

Wenn nun die gegebene Basis ist, dann gilt . Die Spalten bestehen also aus den Koordinatendarstellungen bezüglich der von Dir angegebenen Bildvektoren. Kannst Du diese Koordinatendarstellungen berechnen?
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Spalten bestehen also aus den Koordinatendarstellungen bezüglich C


Ich glaube, ich verstehe es jetzt. Mir leuchtete der Unterschied bezüglich der Abbildungsmatrix bezüglich Standardbasis und einer Abbildungsmatrix bezüglich anderen Basen nicht ein.

Bei der Standardbasis ist das ja so, dass die Spalten der Abbildungsmatrix bereits einfach die Bilder der Basisvektoren sind. Dies liegt aber einfach daran, dass eine Koordinatendarstellung bezüglich der Standardbasis sowieso auf das gleiche kommen würde - deshlab ist eine explizite Koordinatendarstellung nicht nötig.

Bei anderen Basen, bei denen die Komponenten der Basisvektoren nicht zwingend aus Einsen bestehen müssen und auch nicht so "angeordnet" sind wie es bei den Standardbasisvektoren der Fall ist, besteht aber dieser Unterschied.

Also hätte ich:



Stimmt das? Falls ja, wenn ich diese Matrix mit einem der Basisvektoren - zB (1,1,0) multipliziere, erhalte ich also nicht mehr eine Spalte der Matrix selbst, oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nicht alles nachgerechnet, aber die erste Spalte ist schonmal richtig. Augenzwinkern Außerdem hast Du das Prinzip doch gut wiedergegeben und daher wohl auch verstanden. smile

Zitat:
Stimmt das? Falls ja, wenn ich diese Matrix mit einem der Basisvektoren - zB (1,1,0) multipliziere, erhalte ich also nicht mehr eine Spalte der Matrix selbst, oder?

Nun ja, wenn Du die -te Spalte der Matrix haben willst, ist es schon richtig mit dem -ten basisvektor zu multiplizieren -- aber auch wieder in der Koordinatendarstellung bezüglich derselben Basis. Wie sieht das hier aus?
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

ah so, dann müsste ich einfach die Matrix mit (1,0,0) multiplizieren meinst du?
(und ich hab dann noch weitere Fragen ^^)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Augenzwinkern Du kannst Dir leicht überlegen, dass das immer gilt, egal, wie die Basis konkret aussieht.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

ok, jetzt konvergiere ich gerade zu sehr müde, aber morgen werde ich noch versuchen, all diese Transformationsmatrizen die du oben notiert hast aufzuschreiben und mir auch überlegen, wie ich vorgehen könnte, wenn ich zuerst nur die Abbildung bezüglich der Standardbasisvektoren betrachte und dann erst diese Bildvektoren transformiere.
Gleiche Zeit, gleicher Kanal :p
Danke
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch ne Zwischenfrage:

Wenn ich nun wiederum diesen Vektorraum mit der Basis (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1) betrachte und dann zum Beispiel einfach (1,1,1) + (1,1,1) rechne - dann ist das ja auch eine lineare Funktion und dann ist das Resultat wiederum NICHT (2,2,2) sondern (0,0,2)?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

traurig

seufz.

Also Addition ist ja eine lineare Abbildung - dh man wirds irgendwie mit ner Matrix darstellen können.
Warum denn muss man nach dem Addieren das Resultat nicht neu schreiben - nach Multiplikation mit Abbildungsmatrix (siehe oben) jedoch muss man die Koordinaten neu bestimmen?

traurig
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich Deine Frage leider nicht.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Gegeben zwei lineare Abbildung f1 und f2, wobei:

f1(1,1,1)^T=(1,2,4) (siehe oben)

und

f2(1,1,1)^T = (2,2,2)

warum kann ich den unteren Vektor so stehen lassen, muss aber den oberen noch in der Basis C ausdrücken?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du doch gar nicht. Ich hab das nur geschrieben, weil Du mich danach gefragt hättest. Augenzwinkern
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
Ok.
Gegeben zwei lineare Abbildung f1 und f2, wobei:

f1(1,1,1)^T=(1,2,4) (siehe oben)

und

f2(1,1,1)^T = (2,2,2)

warum kann ich den unteren Vektor so stehen lassen, muss aber den oberen noch in der Basis C ausdrücken?


Diesen Vektor: (1,2,4) kann ich aber NICHT so in die Abbildungsmatrix schreiben. Wenn du dir die Abbildungsmatrix anschaust, dort ist die letzte Spalte ja (-2,1,3).
Das heisst um diese Spalte zu bestimmen, MUSSTE ich (1,2,4) mit den Basisvektoren von C ausdrücken? Einverstanden?

Ich betrachte nun eine zweite Abbildung, und das ist eben die Addition:

f2(1,1,1) = (2,2,2).

Nach deiner Aussage, könnte ich (2,2,2) nun so stehen lassen, das heisst wenn ich die entsprechende Abbildungsmatrix für f2 suche, dann muss ich (2,2,2) nicht noch in der Basis von C ausdrücken, sondern kann es einfach so für die entsprechende Spalte der Abbildungsmatrix übernehmen.

Oder nicht?

Teufel
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
Wenn du dir die Abbildungsmatrix anschaust, dort ist die letzte Spalte ja (-2,1,3).
Das heisst um diese Spalte zu bestimmen, MUSSTE ich (1,2,4) mit den Basisvektoren von C ausdrücken? Einverstanden?

Ja. In die Abbildungsmatrix kommen spalten der Form .

Zitat:
Original von Anahita
Ich betrachte nun eine zweite Abbildung, und das ist eben die Addition:

f2(1,1,1) = (2,2,2).

Nach mehrfachem überlegen, bin ich dahintergekommen, dass Deine Abbildung wohl sein soll. Ich würde das nicht Addition nennen, denn es ist doch vollkommen willkürlich, was hier addiert wird. Unter Addition als Abbildung verstehe ich die Vektoraddition , aber das ist sicher kein Endomorphismus von .

Davon abgesehen, wenn Du zu Deinem eine Abbildungsmatrix angeben willst, stellst Du die natürlich genauso auf wie zu jeder anderen Abbildung auch. Die Spalte muss auch aus den zugehörigen Koordinatenvektoren bestehen.

Zusammenfassend: Wenn man nur mit linearen Abbildungen arbeitet, kann man immer Identitäten wie oder schreiben, ohne sich Gedanken über Basen machen zu müssen. Will man eine lineare Abbildung aber durch eine Abbildungsmatrix notieren, sind die Spalten gerade durch Koordinatenvektoren bezüglich dieser Basis geben. Für die "Standardbasis" usw. entsprechen die Koordinatendarstellungen eben den Vektoren, die man auch in der basisfreien Notation hat, wie etwa . Ich habe an keiner Stelle gesagt, letztere Formel hinzuschreiben wäre "nicht erlaubt" oder ähnliches.

EDIT:
Zitat:
Original von zweiundvierzig

Offenbar hat Dich ja das hier irritiert. Damit wollte ich zeigen, dass man Vektoren einerseits basisfrei (ohne ) aber natürlich immer auch bezüglich einer Basis (mit ) notieren kann. Die Koordinatenprojektion ist selbst eine lineare Abbildung, d.h. sie verträgt sich mit den Verknüpfungen im Vektorraum, wie in dem Beispiel angedeutet.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, klar, danke.


Zitat:
Original von zweiundvierzig
Du hast jetzt durch Deine Berechnungen schonmal die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis bestimmt, nämlich . Nun gilt für jede Basis , dass . Wie kriegst Du erstmal die Matrix ?


Um zu deiner Frage zurückzukommen, wie ich id^C_B erhalte:

Ich würde die folgende Gleichung lösen:



Ich erhalte dann a = 0, b = -1, c = 1 und dies bildet die erste Spalte der Transformationsmatrix (die, wie wir anderso schon gesagt haben, eigentlich ein Sonderfall einer Abbildungsmatrix ist).

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