Matrizen bestimmen, die AB=BA erfüllen

03.12.2012, 15:29	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen bestimmen, die AB=BA erfüllen Hallo zusammen, ich bin mir unsicher bei einer Aufgabe: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen sie alle 2x2 Matrizen B, die die Gleichung $\begin{eqnarray} A\cdot B=B\cdot A \end{eqnarray}$ erfüllen. $\begin{eqnarray} A\cdot B=\begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B\cdot A=\begin{pmatrix} a & 2a+b \\ c & 2c+d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+2c=a \quad \Rightarrow c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b+2d=2a+b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d=2c+d \end{eqnarray}$ Jetzt wollte ich nach b auflösen aber da kommt $\begin{eqnarray} a=d \end{eqnarray}$ raus. Wie ist denn jetzt meine Lösung? $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank!
03.12.2012, 16:59	Macks	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist mit dem Eintrag oben rechts? was muss für dein b gelten? Was du jetzt geschrieben hast ist, dass die Matrix A mit Vielfachen der Einheitsmatrix kommutiert. Das ist sicherlich auch richtig, aber du kann deinem B noch mehr abverlangen wenn ich das auf die Schnell richtig sehe.
03.12.2012, 17:14	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Macks, welchen Eintrag oben rechts meinst du denn? In der Ergebnis-Matrix? Ich habe das so gemacht, wie wir es in der Vorlesung gemacht haben, nur kam da was anständiges für b raus. //EDIT: Wenn ich b auflöse kommt ja a=d raus, aber ich habe keine Ahnung, was mir das sagt. Gruß
03.12.2012, 17:43	Macks	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast deine Matrix $\begin{eqnarray} B:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewählt. Nun berechnest Du $\begin{eqnarray} A \cdot B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \cdot A \end{eqnarray}$ und schaust für welche a,b,c,d diese beiden Produkte gleich sind. Ich wollte nur darauf hinaus, dass das b beliebig sein darf, da du keine Bedingungen erhälst. Denn: vergleichst du die beiden Einträge oben rechst und hast bereits gegeben dass $\begin{eqnarray} d=a \end{eqnarray}$ dann gilt für $\begin{eqnarray} b + 2d = 2 a + b \end{eqnarray}$ Gleichheit für beliebige $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ (in den den anderen Einträgen erscheint das b nicht) also lautet dein $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} a ,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Richtig?
03.12.2012, 19:44	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar du hast natürlich recht, so hab ichs für a und d ja auch gemacht. Was mich nur verwirrt hat das a=d ist. Achso wir sind in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ Also wäre das auch eine richtige Lösung? $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} d & b \\ 0 & d \end{pmatrix} b, d \in \mathbb C \end{eqnarray}$ //EDIT: für die 4 Gleichungen bekomme ich für c=0: a=a 0=0 a=d bzw. b=b d=d $\begin{eqnarray} \Rightarrow B = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} a, b \in \mathbb C \end{eqnarray}$ Kann man das so aufschreiben? Bin mir nicht so sicher wie ich das überhaupt aufschreiben soll Vielen Dank!

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