Beweis linear Unabhängig

03.12.2012, 16:01

Bettina.

Beweis linear Unabhängig

Meine Frage:
Zu beweisen: die folgende Funktionen Familie $\begin{eqnarray*} \mathbb R^\mathbb R \end{eqnarray*}$ (1,cos,sin) ist linear unabhängig.

Meine Ideen:
Dazu muss ich ja zigen, dass aus $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha 1+\beta cos(x) +\gamma sin(x)=0 \forall x \in \mathbb R \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \alpha= \beta= \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Das hab ich mir bisher überlegt, nur ich weiß nicht wie ich den Beweis jetzt anstellen soll.

03.12.2012, 18:09

EinGast

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RE: Beweis linear Unabhängig
wie du schon geschrieben hast, muss die Gleichung $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta\cos x+\gamma\sin x=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Setz also mal einige spezielle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein...

04.12.2012, 09:36

Bettina.

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Was meinst du mit spezielle x?
z.B. das cos(0) =1 und sin(0) = 0?

Ich komme bei der Auggabe einfach nicht weiter.. Ich weiß eben nicht wie ich zeigen kann dass diese gleichung erfüllt ist.

04.12.2012, 09:55

EinGast

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ja, $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist doch schon mal eine gute Idee - welche Gleichung erhält man dann für die Unbekannten $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ ?
Danach kannst du weitere $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wählen - am besten solche, für die Sinus und Kosinus einfache Werte annehmen

04.12.2012, 10:07

Bettina.

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Also wenn ich 0 einsetze erhalte ich $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta = 0 \end{eqnarray*}$

Wie geht es denn dann weiter? Danke vielmals für deine Hilfe!

04.12.2012, 10:13

Bettina.

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Wenn ich für x (3/2 pi) einsetze erhalte ich dass $\begin{eqnarray*} \alpha -\gamma =0 \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 10:17

EinGast

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richtig - fehlt also noch eine Gleichung...

04.12.2012, 10:22

Bettina.

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Sorry ich steh irgendwie grad auf dem schlauch und weiß nicht was ich da noch einsetzen soll. mir ist klar dass ich jetzt noch rausbekommen muss dass alpha 0 ist oder?

04.12.2012, 10:28

EinGast

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wir haben die 3 Unbekannten Alpha, Beta und Gamma (und wollen zeigen, dass sie alle 0 sind). Wir brauchen also 3 unabhängige Gleichungen, um sie zu bestimmen.
Zwei Gleichungen hast du bereits hergeleitet, indem du $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=3\pi/2 \end{eqnarray*}$ gewählt hast. Jetzt musst du also nur noch einen weiteren x-Wert nehmen...

04.12.2012, 10:32

Bettina.

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Wenn x = phi dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha -\beta = 0 \end{eqnarray*}$

Meintest du so?

04.12.2012, 10:38

EinGast

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Zitat:

Original von Bettina.
Wenn x = phi dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha -\beta = 0 \end{eqnarray*}$
Meintest du so?

genau (wobei du x= pi meinst Augenzwinkern

). Jetzt haben wir also das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha-\gamma=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha-\beta=0 \end{eqnarray*}$

und müssen dieses noch lösen

04.12.2012, 11:02

Bettina.

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$\begin{eqnarray*} \alpha = 0 , \beta = 0, \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Dann hab ich ja den Beweis schon oder? smile